Trovare un'equazione per la sfera.......
ciao ragazzi,
premetto che non richiedo lo svolgimento dell'esercizio (non sarebbe utile a nessuno), ma qualche dritta per arrivarci
ho il segunete esercizio al mio cospetto, che non riesco a risolvere:
Consideriamo il piano $\pi: x+y+z=0$ ed i punti $P(1,0,1)$ e $O(0,0,0)$:
a) Trovare un'equazione per la sfera tangente a $\pi$ in $O$ e passante per $P$;
b) Determinare il raggio minimo di una sfera passante per $P$ e tangente $\pi$ in un punto qualsiasi;
Nel punto a) non riesco a capire come fare a trovare l'eq. della sfera, dato che non ho maniera di sapere nè il raggio nè il centro della mia ipotetica sfera
nel punto b) sinceramente non saprei nemmeno da dove iniziare.
Qualcuno riesce a darmi qualche dritta per maneggiare questo genere di esercizio?
grazie $10^3$
premetto che non richiedo lo svolgimento dell'esercizio (non sarebbe utile a nessuno), ma qualche dritta per arrivarci
ho il segunete esercizio al mio cospetto, che non riesco a risolvere:
Consideriamo il piano $\pi: x+y+z=0$ ed i punti $P(1,0,1)$ e $O(0,0,0)$:
a) Trovare un'equazione per la sfera tangente a $\pi$ in $O$ e passante per $P$;
b) Determinare il raggio minimo di una sfera passante per $P$ e tangente $\pi$ in un punto qualsiasi;
Nel punto a) non riesco a capire come fare a trovare l'eq. della sfera, dato che non ho maniera di sapere nè il raggio nè il centro della mia ipotetica sfera
nel punto b) sinceramente non saprei nemmeno da dove iniziare.
Qualcuno riesce a darmi qualche dritta per maneggiare questo genere di esercizio?
grazie $10^3$
Risposte
Ciao 
La butto lì: per il punto a) prova a pensare a che cosa vuol dire che il piano tange la sfera in $O$: in particolare riesci a trovare l'equazione della retta su cui sta il centro (è mooolto facile).
Poi imponendo che i raggi (=distanza centro-piano e distanza centro-P) siano uguali ti levi i parametri... prova un po' a vedere.
Per il punto b), non saprei: ci devo pensare.
La butto lì: per il punto a) prova a pensare a che cosa vuol dire che il piano tange la sfera in $O$: in particolare riesci a trovare l'equazione della retta su cui sta il centro (è mooolto facile).
Poi imponendo che i raggi (=distanza centro-piano e distanza centro-P) siano uguali ti levi i parametri... prova un po' a vedere.
Per il punto b), non saprei: ci devo pensare.
Credo anche io che sia giusto cosi'..imponi che $rg((x-0,1),(y-0,1),(z-0,1))=1$ che e' la condizione di perpendicolarita' tra piano e retta passante per $(0,0,0)$, dove $(1,1,1)$ sono gli $(a,b,c)$ del piano cioe'.....Poi esprimendo z e y infunzione di x e poni l'uguaglianza delle distanze punto di una retta con i 2 punti $P,O$ottenendo cosi' il centro,fai il raggio e la trovi.
per quanto riguarda la retta passante per $O$ e per $C$ non c'è nessun problema, ma non riesco a capire il punto quando devo uguagliare le due distanze, ho capito il ragionamento, ma in pratica cosa devo fare?
Ho provato a trovarmi i $\vec (CP)$ e $\vec (CO)$ ponendo $C=(C_x,C_y,C_z)$ e poi facendo il modulo di questi ho trovato le distanze $\bar{CP}$ e $\bar{CO}$ , in seguito le ho uguagliate e mi ritrovo con $-2C_x -2C_z +2=0$, quindi un'equazione e due incognite, cosa devo fare fissare un parametro??
........penso che evidentemente c'è qualcosa che non va nel mio procedimento
Ho provato a trovarmi i $\vec (CP)$ e $\vec (CO)$ ponendo $C=(C_x,C_y,C_z)$ e poi facendo il modulo di questi ho trovato le distanze $\bar{CP}$ e $\bar{CO}$ , in seguito le ho uguagliate e mi ritrovo con $-2C_x -2C_z +2=0$, quindi un'equazione e due incognite, cosa devo fare fissare un parametro??
........penso che evidentemente c'è qualcosa che non va nel mio procedimento
Hai trovato la retta perpendicolare al piano per$O$? dal rango si ha $r:y=x,z=x$ .Il centro si trova su questa retta ed ha coordinate $(x,x,x)$.ora faccio la distanza dal generico punto della retta ad $O$. $sqrt((x-0)^2+(x-0)^2+(x-0)^2)$.Poi la distanza dal generico punto della retta a $P$:
$sqrt((x-1)^2+(x-0)^2+(x-1)^2)$.uguaglio ste' distanze. Da cui $x=1/2$.per cui il centro e'$C=(1/2,1/2,1/2)$.il raggio $r^2=(1/2)^2+(1/2)^2+(1/2)^2$.per cui la sfera e'
$(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2=3/4$
$sqrt((x-1)^2+(x-0)^2+(x-1)^2)$.uguaglio ste' distanze. Da cui $x=1/2$.per cui il centro e'$C=(1/2,1/2,1/2)$.il raggio $r^2=(1/2)^2+(1/2)^2+(1/2)^2$.per cui la sfera e'
$(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2=3/4$
grazie, molto chiaro!
..........e il punto b)
?
..........e il punto b)
?
Per il punto b, forse si potrebbe fare qualcosa del genere: prendi un punto generico di $pi$, chiamalo $Q=(lambda, mu, -lambda - mu)$.
Ripercorri il ragionamento del punto a), sostituendo però $Q$ al posto di $O$. Trovi l'equazione (parametrica) della retta del centro. Quindi imponi che la distanza $CP$ sia uguale a quella $CQ$. Ti resterà un'equazione quadratica in $lambda$ e $mu$, forse da lì si riesce a tirare fuori qualcosa... magari si vede ad occhio la soluzione, o forse c'è da fare qualche ragionamento analitico...
Ripercorri il ragionamento del punto a), sostituendo però $Q$ al posto di $O$. Trovi l'equazione (parametrica) della retta del centro. Quindi imponi che la distanza $CP$ sia uguale a quella $CQ$. Ti resterà un'equazione quadratica in $lambda$ e $mu$, forse da lì si riesce a tirare fuori qualcosa... magari si vede ad occhio la soluzione, o forse c'è da fare qualche ragionamento analitico...
in effetti ad okkio viene una quadratica del tipo $x^2+y^2+axy+by+d=0$ 
scusate che non ho risposto prima, ma ieri non ho avuto la possibilità di connettermi a internet.
Sì, credo che il vostro metodo per il punto b) vada bene, anche se spero vivamente che non mi capiti qualcosa del genere all'esame!!!!
Sì, credo che il vostro metodo per il punto b) vada bene, anche se spero vivamente che non mi capiti qualcosa del genere all'esame!!!!
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