Trovare un'applicazione lineare.
Ciao a tutti, sono Alex, lettore da sempre, scrittore da poco. Sto preparando (per l'ennesima volta!) l'esame di Geometria 1 per la laurea in Fisica. Facendo esercizi mi accorgo che mi blocco sempre su questa richiesta:
"Dire se è possibile costruire applicazioni lineari che soddisfino le condizioni indicate, e in caso ne esistano più di una trovarne almeno due distinte".
In sostanza non so come trovare applicazioni lineari date delle condizioni.
Esiste un "metodo" da seguire? (immagino di no...bisognerà vedere casoXcaso!)
Vi posto un esempio:
$ T:RR^3->RR^4 text{ iniettiva e tale che } Im(T)=Span(|(0),(1),(2),(3)|,|(1),(1),(0),(0)|,|(0),(0),(1),(1)|) $
Quello che ho fatto io è:
L'applicazione lineare è iniettiva perciò: null(T)=0.
Per il teorema null+rango so che: rango(T)=dim(V)=3
Dato che il rango non è altro che la dimensione dell'immagine e che i vettori dati sono linearmente indipendenti deduco che essi sono esattamente una base dello spazio di arrivo e cioè una base dell'immagine di T.
Allora scrivo i vettori dell'immagine come combinazione lineare dei vettori della base dell'immagine
$ T|(x_1),(x_2),(x_3)|=a|(0),(1),(2),(3)|+b|(1),(1),(0),(0)|+c|(0),(0),(1),(1)|=|(a),(a+b),(2a+c),(3a+c)| $
.....e poi mi blocco
"Dire se è possibile costruire applicazioni lineari che soddisfino le condizioni indicate, e in caso ne esistano più di una trovarne almeno due distinte".
In sostanza non so come trovare applicazioni lineari date delle condizioni.
Esiste un "metodo" da seguire? (immagino di no...bisognerà vedere casoXcaso!)
Vi posto un esempio:
$ T:RR^3->RR^4 text{ iniettiva e tale che } Im(T)=Span(|(0),(1),(2),(3)|,|(1),(1),(0),(0)|,|(0),(0),(1),(1)|) $
Quello che ho fatto io è:
L'applicazione lineare è iniettiva perciò: null(T)=0.
Per il teorema null+rango so che: rango(T)=dim(V)=3
Dato che il rango non è altro che la dimensione dell'immagine e che i vettori dati sono linearmente indipendenti deduco che essi sono esattamente una base dello spazio di arrivo e cioè una base dell'immagine di T.
Allora scrivo i vettori dell'immagine come combinazione lineare dei vettori della base dell'immagine
$ T|(x_1),(x_2),(x_3)|=a|(0),(1),(2),(3)|+b|(1),(1),(0),(0)|+c|(0),(0),(1),(1)|=|(a),(a+b),(2a+c),(3a+c)| $
.....e poi mi blocco
Risposte
Fissi una base di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] ed imponi che le immagini di tali vettori siano i vettori dati di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex]; ad esempio: [tex]$T(1;0;0)=(0;1;2;3);\,T(0;1;0)=(1;1;0;0);\,T(0;0;1)=(0;0;1;1)$[/tex], per il teorema fondamentale delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali su un medesimo campo ne hai determinata univocamente una che soddisfa le richieste! 
Ora come fai a costruirne una diversa?
Ora come fai a costruirne una diversa?
Ok, ho capito che ho perso un sacco di tempo per niente! La soluzione era così banale!!! In pratica se descrivo il comportamento di un'applicazione lineare sui vettori della base dello spazio di partenza ho descritto l'applicazione lineare stessa..."ho capito bravo"? Ora, tu m'insegni, per trovarne un'altra prendo un'altra base oppure cambio i coefficienti della combinazione lineare. Right right?
La tua spiegazione è corretta ma chiacchierando tra colleghi, all'esame orale devi tradurre ciò in formalismo matematico. 
Sì, ma cambiando le immagini dei vettori della base fai prima tipo: poni in seconda istanza [tex]$T(1;0;0)=(1;1;0;0),\hdots$[/tex]
Sì, ma cambiando le immagini dei vettori della base fai prima
tipo: poni in seconda istanza [tex]$T(1;0;0)=(1;1;0;0),\hdots$[/tex]
Benissimo ti ringrazio per l'aiutone! Ora faccio un paio di esercizi per vedere se ho effettivamente assimilato e se dovessero esserci altri problemi saprò a chi chiedere!
Ancora grazie!
Ancora grazie!
Prego di nulla! 
Se ti può essere di conforto: anch'io mi uccidevo la salute nello stesso modo errato! -_- Nel mio caso è bastato cambiare docente.
Se ti può essere di conforto: anch'io mi uccidevo la salute nello stesso modo errato! -_- Nel mio caso è bastato cambiare docente.
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