Trovare un'applicazione lineare
Ciao a tutti... mi aiutate un attimo a capire questa cosa?
Allora io ho un'applicazione lineare
\(\displaystyle F: R^2 -> R^3 \)tale che
\(\displaystyle F(e1)=e2+e3 \)
\(\displaystyle F(e2)=2e1-e2+e3 \)
(Dove e1, e2 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^2 \) ed e1, e2, e3 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^3 \))
Voglio determinare \(\displaystyle F(x,y) \) per un generico vettore di \(\displaystyle R^2 \).
Il mio libro dice di usare la proprietà di applicazione lineare, ovvero:
\(\displaystyle F(x,y)=F(x(1,0)+y(0,1))= F(xe1 +ye2)=xF(e1)+yF(e2)=x(e2+e3)+y(2e1-e2+e3)=x(0,1,1)+y(2,-1,1)=(2y, x-y, x+y). \)
Io non capisco questi passaggi, qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmeli?
Cioè, ho capito che sta applicando la definizione di applicazione lineare, quello che non capisco è PERCHE'.
Grazie!
Allora io ho un'applicazione lineare
\(\displaystyle F: R^2 -> R^3 \)tale che
\(\displaystyle F(e1)=e2+e3 \)
\(\displaystyle F(e2)=2e1-e2+e3 \)
(Dove e1, e2 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^2 \) ed e1, e2, e3 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^3 \))
Voglio determinare \(\displaystyle F(x,y) \) per un generico vettore di \(\displaystyle R^2 \).
Il mio libro dice di usare la proprietà di applicazione lineare, ovvero:
\(\displaystyle F(x,y)=F(x(1,0)+y(0,1))= F(xe1 +ye2)=xF(e1)+yF(e2)=x(e2+e3)+y(2e1-e2+e3)=x(0,1,1)+y(2,-1,1)=(2y, x-y, x+y). \)
Io non capisco questi passaggi, qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmeli?
Cioè, ho capito che sta applicando la definizione di applicazione lineare, quello che non capisco è PERCHE'.
Grazie!
Risposte
Ciao.
I passaggi che hai riportato sfruttano, semplicemente, la definizione di applicazione lineare, secondo cui, data l'applicazione
$L:V rightarrow W$, con $V$ e $W$ spazi vettoriali su un campo $K$
questa è detta "lineare" se valgono le seguenti proprietà:
1) $AA v_1,v_2inV$ si ha $L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$
2) $AA alphainKAAvinV$ si ha $L( alpha*v)= alpha*L(v)$
Non so se ho reso l'idea.
Saluti.
I passaggi che hai riportato sfruttano, semplicemente, la definizione di applicazione lineare, secondo cui, data l'applicazione
$L:V rightarrow W$, con $V$ e $W$ spazi vettoriali su un campo $K$
questa è detta "lineare" se valgono le seguenti proprietà:
1) $AA v_1,v_2inV$ si ha $L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$
2) $AA alphainKAAvinV$ si ha $L( alpha*v)= alpha*L(v)$
Non so se ho reso l'idea.
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
I passaggi che hai riportato sfruttano, semplicemente, la definizione di applicazione lineare, secondo cui, data l'applicazione
$L:V rightarrow W$, con $V$ e $W$ spazi vettoriali su un campo $K$
questa è detta "lineare" se valgono le seguenti proprietà:
1) $AA v_1,v_2inV$ si ha $L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$
2) $AA alphainKAAvinV$ si ha $L( alpha*v)= alpha*L(v)$
Non so se ho reso l'idea.
Saluti.
ciao, ti ringrazio, ma questo lo so, quello che non riesco a capire sono i vari passaggi fatti
Ciao.
Osserva attentamente i passaggi e ti accorgerai che non si fa altro che applicare le due proprietà delle applicazioni lineari.
Saluti.
Osserva attentamente i passaggi e ti accorgerai che non si fa altro che applicare le due proprietà delle applicazioni lineari.
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
Osserva attentamente i passaggi e ti accorgerai che non si fa altro che applicare le due proprietà delle applicazioni lineari.
Saluti.
Vediamo un po'...
\( \displaystyle F(x,y)=F(x(1,0)+y(0,1))\)
questo mi è oscuro...perché diventa x(1,0)+y(0,1)?
\( \displaystyle F(xe1 +ye2)\)
qui immagino ha solo sostituito (0,1) e (1,0) con la dicitura e1 ed e2 (era necessario?)
\( \displaystyle xF(e1)+yF(e2) \)
qui ha "portato fuori" la x e la y in virtù della seconda proprietà da te elencata?
\( \displaystyle x(e2+e3)+y(2e1-e2+e3) \)
qui ha applicato la funzione su e1 ed e2
\( \ x(0,1,1)+y(2,-1,1)=(2y, x-y, x+y). \)
qui sono stati semplicemente svolti i conti.
E' così?
Grazie.
"EveyH":
\( \displaystyle F(x,y)=F(x(1,0)+y(0,1)) \)
questo mi è oscuro...perché diventa x(1,0)+y(0,1)?
\( \displaystyle F(xe1 +ye2) \)
qui immagino ha solo sostituito (0,1) e (1,0) con la dicitura e1 ed e2 (era necessario?)
L'idea è quella di esprimere il vettore $(x,y)$ in funzione dei vettori della base canonica $(1,0)$ e $(0,1)$.
"EveyH":
\( \displaystyle xF(e1)+yF(e2) \)
qui ha "portato fuori" la x e la y in virtù della seconda proprietà da te elencata?
\( \displaystyle x(e2+e3)+y(2e1-e2+e3) \)
qui ha applicato la funzione su e1 ed e2
\( \ x(0,1,1)+y(2,-1,1)=(2y, x-y, x+y). \)
qui sono stati semplicemente svolti i conti.
Esatto.
Saluti.
In pratica, in situazioni come questa, senza bisogno di fare conti, posso semplicemente trovare l'applicazione moltiplicando i i coefficienti dei vari e1, e2, per le varie x,y e poi sommando il tutto?
E' così?
E' così?
Si, purchè si esprima tutto in funzione delle basi canoniche.
Saluti.
Saluti.
Cioè questa cosa vale solo se l'applicazione in questione è del tipo \(\displaystyle F(e_x)=e_x +... \)?
dove per $e_x$ intendo un vettore qualsiasi della base canonica, tipo $e_1$, $e_2$ etc.
Se l'applicazione è definita diversamente, tipo:
\(\displaystyle F: R^3 -> R^3 | F(x,y,z) = (x-z, x+2y-z, x-4y-z) \)
Come la trovo?
(Detto fra noi, ho l'impressione che questa domanda non abbia senso, perché la risposta è che in questo caso i vettori immagine sono già belli che definiti...)
Grazie.
dove per $e_x$ intendo un vettore qualsiasi della base canonica, tipo $e_1$, $e_2$ etc.
Se l'applicazione è definita diversamente, tipo:
\(\displaystyle F: R^3 -> R^3 | F(x,y,z) = (x-z, x+2y-z, x-4y-z) \)
Come la trovo?
(Detto fra noi, ho l'impressione che questa domanda non abbia senso, perché la risposta è che in questo caso i vettori immagine sono già belli che definiti...)
Grazie.
Ciao.
Chiarisco quello che intendevo dire prima.
Supponiamo di avere un'applicazione lineare $f:RR^n rightarrow RR^m$ e supponiamo di conoscere solamente le immagini, tramite $f$, dei vettori di una base $B={v_1,v_2,...,v_n}$ del dominio.
Conoscendo $f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)$, è possibile, allora, avendo un qualunque vettore $v$ del dominio, ricavare $f(v)$ in questo modo, sfruttando la linearità di $f$:
$f(v)=f(a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n)=a_1f(v_1)+a_2f(v_2)+...+a_nf(v_n)$
Se la base in questione fosse la base canonica $E={e_1,e_2,...,e_n}$ di $RR^n$, il calcolo di $f(v)$ sarebbe maggiormente facilitato dal fatto che, dato un vettore $v=(x_1,x_2,...,x_n) in RR^n$, valendo
$v=x_1e_1+x_2e_2+...+x_n e_n$
si avrebbe
$f(v)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+...+x_nf(e_n)$
Mi sono spiegato meglio, ora?
Saluti.
Chiarisco quello che intendevo dire prima.
Supponiamo di avere un'applicazione lineare $f:RR^n rightarrow RR^m$ e supponiamo di conoscere solamente le immagini, tramite $f$, dei vettori di una base $B={v_1,v_2,...,v_n}$ del dominio.
Conoscendo $f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)$, è possibile, allora, avendo un qualunque vettore $v$ del dominio, ricavare $f(v)$ in questo modo, sfruttando la linearità di $f$:
$f(v)=f(a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n)=a_1f(v_1)+a_2f(v_2)+...+a_nf(v_n)$
Se la base in questione fosse la base canonica $E={e_1,e_2,...,e_n}$ di $RR^n$, il calcolo di $f(v)$ sarebbe maggiormente facilitato dal fatto che, dato un vettore $v=(x_1,x_2,...,x_n) in RR^n$, valendo
$v=x_1e_1+x_2e_2+...+x_n e_n$
si avrebbe
$f(v)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+...+x_nf(e_n)$
Mi sono spiegato meglio, ora?
Saluti.
Ok. E per l'ultima domanda che ti ho fatto?
Un'altra cosa: tu hai parlato di applicazioni da \(\displaystyle R^n \) a \(\displaystyle R^m \), si usano n ed m per indicare che sono due numeri diversi, che m sia > di n (o viceversa) è irrilevante, giusto?
E se invece siamo in applicazioni da \(\displaystyle R^n \) a \(\displaystyle R^n \), il discorso che hai fatto cambia?
Un'altra cosa: tu hai parlato di applicazioni da \(\displaystyle R^n \) a \(\displaystyle R^m \), si usano n ed m per indicare che sono due numeri diversi, che m sia > di n (o viceversa) è irrilevante, giusto?
E se invece siamo in applicazioni da \(\displaystyle R^n \) a \(\displaystyle R^n \), il discorso che hai fatto cambia?
Ciao.
Quale domanda, alludi a questa (v. testo sottostante)?
Se la domanda era quella, ti sei risposto da solo.
I numeri naturali $n,m$ sono assolutamente arbitrari, quindi potendo assumere qualunque valore, sono interscambiabili e potrebbero anche coincidere tra loro.
Saluti.
"EveyH":
Ok. E per l'ultima domanda che ti ho fatto?
Quale domanda, alludi a questa (v. testo sottostante)?
"EveyH":
Se l'applicazione è definita diversamente, tipo:
\(\displaystyle F: R^3 -> R^3 | F(x,y,z) = (x-z, x+2y-z, x-4y-z) \)
Come la trovo?
(Detto fra noi, ho l'impressione che questa domanda non abbia senso, perché la risposta è che in questo caso i vettori immagine sono già belli che definiti...)
Grazie.
Se la domanda era quella, ti sei risposto da solo.
"EveyH":
Un'altra cosa: tu hai parlato di applicazioni da \(\displaystyle R^n \) a \(\displaystyle R^m \), si usano n ed m per indicare che sono due numeri diversi, che m sia > di n (o viceversa) è irrilevante, giusto?
E se invece siamo in applicazioni da \(\displaystyle R^n \) a \(\displaystyle R^n \), il discorso che hai fatto cambia?
I numeri naturali $n,m$ sono assolutamente arbitrari, quindi potendo assumere qualunque valore, sono interscambiabili e potrebbero anche coincidere tra loro.
Saluti.
Sì la domanda era quella, grazie, sei gentilissimo.
Ho quest'altro esercizio che non capisco bene come risolvere:
Data l'app. lineare \(\displaystyle T: R^3 -> R^3 \)
T(1,-1,0)=(3,1,0)
T(1,1,0)=(5,1,-2)
T(-1,1,1)=(0,0,5)
si individui la matrice associata a T nella base canonica e si dica se T è suriettiva.
Posso chiederti se sei uno studente (come me) o un insegnante?
Grazie mille.
Ho quest'altro esercizio che non capisco bene come risolvere:
Data l'app. lineare \(\displaystyle T: R^3 -> R^3 \)
T(1,-1,0)=(3,1,0)
T(1,1,0)=(5,1,-2)
T(-1,1,1)=(0,0,5)
si individui la matrice associata a T nella base canonica e si dica se T è suriettiva.
Posso chiederti se sei uno studente (come me) o un insegnante?
Grazie mille.
"EveyH":
Ho quest'altro esercizio che non capisco bene come risolvere:
Data l'app. lineare \( \displaystyle T: R^3 -> R^3 \)
T(1,-1,0)=(3,1,0)
T(1,1,0)=(5,1,-2)
T(-1,1,1)=(0,0,5)
si individui la matrice associata a T nella base canonica e si dica se T è suriettiva.
In questo caso è solo questione di fare qualche conto (che lascio a te); bisogna cercare una matrice $A in M(3 xx 3;RR)$ tale che:
$A*((1),(-1),(0))=((3),(1),(0))$
$A*((1),(1),(0))=((5),(1),(-2))$
$A*((-1),(1),(1))=((0),(0),(5))$
Per la suriettività di $T$, basta calcolare $rkA$ e verificare che esso sia massimo, quindi, in questo caso, pari a tre.
"EveyH":
Posso chiederti se sei uno studente (come me) o un insegnante?
Dal mio profilo risulta sia la mia occupazione che la mia età.
Saluti.
Mia nipote mi ha detto che si risolve così:
1) (1,0,0)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
2) (0,1,0)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
3) (0,0,1)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
Dal sistema 1) ricavo queste 3 soluzioni $(1/2, 1/2, 0)$, dal 2) ricavo $(-1/2, 1/2, 0)$, dal 3) invece $(1,0,1)$.
Sfruttando la proprietà di linearità di T si ha che:
$1/2 (3,1,0) + 1/2 (5,1,-2) + 0 (0,0,5) = (4,1,4)$
$-1/2 (3,1,0) + 1/2 (5,1,-2) + 0(0,0,5) = (1,0,4)$
$1(3,1,0) + 0 (5,1,-2) + 1(0,0,5) = (3,1,5)$
Supposti giusti i conti, la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche è
$((4,1,3),(1,0,1),(4,4,5))$
(Perché i vettori sono stati messi in colonna e non in riga?)
Per la suriettività si applica gauss alla matrice così trovata e viene fuori che ha rango 3 quindi l'applicazione è suriettiva.
Detto sinceramente, non ho capito questi procedimenti.
Provo almeno ad interpretare il primo passaggio: abbiamo trovato i vettori di partenza di T rispetto a quelli della base canonica.
Grazie
1) (1,0,0)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
2) (0,1,0)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
3) (0,0,1)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
Dal sistema 1) ricavo queste 3 soluzioni $(1/2, 1/2, 0)$, dal 2) ricavo $(-1/2, 1/2, 0)$, dal 3) invece $(1,0,1)$.
Sfruttando la proprietà di linearità di T si ha che:
$1/2 (3,1,0) + 1/2 (5,1,-2) + 0 (0,0,5) = (4,1,4)$
$-1/2 (3,1,0) + 1/2 (5,1,-2) + 0(0,0,5) = (1,0,4)$
$1(3,1,0) + 0 (5,1,-2) + 1(0,0,5) = (3,1,5)$
Supposti giusti i conti, la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche è
$((4,1,3),(1,0,1),(4,4,5))$
(Perché i vettori sono stati messi in colonna e non in riga?)
Per la suriettività si applica gauss alla matrice così trovata e viene fuori che ha rango 3 quindi l'applicazione è suriettiva.
Detto sinceramente, non ho capito questi procedimenti.
Provo almeno ad interpretare il primo passaggio: abbiamo trovato i vettori di partenza di T rispetto a quelli della base canonica.
Grazie
"EveyH":
Mia nipote mi ha detto che si risolve così:
1) (1,0,0)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
2) (0,1,0)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
3) (0,0,1)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)
Questa è un'altra modalità, equivalente a quella che suggerivo io; una volta calcolati i valori di $a,b,c$ in ciascuno dei tre casi, si sfruttano le conseguenze, sulla matrice da cercare, della linearità dell'applicazione associata alla matrice stessa.
Esempio (caso 1):
siccome vale $(1,0,0)=a(1,-1,0) + b (1,1,0) + c(-1,1,1)=1/2(1,-1,0) + 1/2 (1,1,0)$, si ha
$A*((1),(0),(0))=1/2A*((1),(-1),(0))+1/2A*((1),(1),(0))=1/2*((3),(1),(0))+1/2*((5),(1),(-2))=((4),(2),(-1))$
e così per gli altri due casi.
In questo modo si ottengono tre vettori
$A*((1),(0),(0))=((x_1),(x_2),(x_3))$
$A*((0),(1),(0))=((y_1),(y_2),(y_3))$
$A*((0),(0),(1))=((z_1),(z_2),(z_3))$
le cui componenti formano le colonne della matrice cercata, perchè
$A*((1),(0),(0))$ dà come risultato un vettore colonna coincidente con la prima colonna della matrice $A$
$A*((0),(1),(0))$ dà come risultato un vettore colonna coincidente con la seconda colonna della matrice $A$
$A*((0),(0),(1))$ dà come risultato un vettore colonna coincidente con la terza colonna della matrice $A$
Sull'ultimo punto, l'algoritmo di Gauss è quello che serve proprio a calcolare $rkA$, come suggerivo.
Saluti.
Ok.
Vediamo un attimo se ho capito una cosa, quando devo trovare una base per il nucleo lavoro (essenzialmente con gauss) sulla matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche, mentre quando devo trovare una base dell'immagine devo lavorare con la suddetta matrice però trasposta, giusto?
Ciao,
Evey
Vediamo un attimo se ho capito una cosa, quando devo trovare una base per il nucleo lavoro (essenzialmente con gauss) sulla matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche, mentre quando devo trovare una base dell'immagine devo lavorare con la suddetta matrice però trasposta, giusto?
Ciao,
Evey
Ciao.
Sia $L:RR^n rightarrow RR^m$ applicazione lineare e sia $A in M(m xx n,RR)$ la matrice associata a $L$.
Siccome $v in KerL Rightarrow L(v)=0 Rightarrow A*v=0$, significa che il nucleo dell'applicazione lineare coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $A*v=0$.
Il metodo di eliminazione di Gauss si applica per risolvere il sistema lineare.
Saluti.
Sia $L:RR^n rightarrow RR^m$ applicazione lineare e sia $A in M(m xx n,RR)$ la matrice associata a $L$.
Siccome $v in KerL Rightarrow L(v)=0 Rightarrow A*v=0$, significa che il nucleo dell'applicazione lineare coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $A*v=0$.
Il metodo di eliminazione di Gauss si applica per risolvere il sistema lineare.
Saluti.
Sì...e per l'immagine?
"EveyH":
Sì...e per l'immagine?
Per trovare la dimensione dell'immagine, calcoli il rango della matrice associata all'applicazione lineare.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo