Trovare una retta in $E^3$
Ciao!
Sto facendo un esercizio che sto cercando di concludere però mi manca proprio l'ultimo colpo d'ala per concluderlo(ammesso che sia giusto come ho proceduto all'inizio)
Il testo dice:
determinare le rette $r$ in $E^3$ parallele al piano $x+y+z+16=0$, incidenti le rette $x=y=z$, $x-y=y-z=1$ ed aventi distanza $1$ dall'asse $z$.
Io ho proceduto così:
ho cominciato a parametrizzare le 2 rette che deve incidere la retta cercata e quindi
$r_1:{x=t, y=t, z=t$ e $r_2:{x=1+s, y=s, z=-1+s$
poi scrivo sempre in forma parametrica la retta passante per questi due punti parametrici:
$r:{x=t+(1+s-t)p;y=t+(s-t)p,z=t+(-1+s-t)p
e a questo punto impongo che questa retta $r$ sia parallela al piano che mi da il testo e quindi dovrebbe venire
$1*(1+s-t)+1*(s-t)+1*(-1+s-t)=0
in sostanza viene $s=-t$ e vado a sostituire in $r$ e quindi viene
$r:{x=t+(1-2t)p, y=t-2tp,z=t+(-1-2t)p
Ora queste $ x y z$ di $r$ esprimono le coordinate di un punto parametrico della retta $r$ che chiamiamo $P_o$
e dopo consideriamo un punto $T$ sull'asse z che avra coordinate $0,0,z_0$
il vettore $P_0-T=(1+(1-2t)p,t-2tp,t+(-1-2t)p-z_0) $dovrà essere perpendicolare all'asse $z$ e quindi in sostanza a un versore $(0,0,1)
Imponendo quindi che il prodotto scalare fra $P_0-T$ e il versore $(0,0,1)$ sia uguale a zero ne viene fuori che $z_0=t+(-1-2t)p$, infine impongo che la distanza fra $P_0$ e $T$ sia $1$ e quindi ottengo un sistemino con
{$z_0=t+(-1-2t)p, (1+(1-2t)p)^2+(t-2tp)^2=1$
Ora però mi servirebbe una terza condizione per concludere....
Intanto vorrei sapere se il modo in cui ho proceduto può andare bene e poi se possibile l'input per terminare l'esercizio
Grazie
[mod="Steven"]Titolo modificato (era "conclusione esercizio"), perché è preferibile sceglierne di più specifici per facilitare gli utenti nella scelta dei topic da visionare. Grazie per la comprensione. [/mod]
Sto facendo un esercizio che sto cercando di concludere però mi manca proprio l'ultimo colpo d'ala per concluderlo(ammesso che sia giusto come ho proceduto all'inizio)
Il testo dice:
determinare le rette $r$ in $E^3$ parallele al piano $x+y+z+16=0$, incidenti le rette $x=y=z$, $x-y=y-z=1$ ed aventi distanza $1$ dall'asse $z$.
Io ho proceduto così:
ho cominciato a parametrizzare le 2 rette che deve incidere la retta cercata e quindi
$r_1:{x=t, y=t, z=t$ e $r_2:{x=1+s, y=s, z=-1+s$
poi scrivo sempre in forma parametrica la retta passante per questi due punti parametrici:
$r:{x=t+(1+s-t)p;y=t+(s-t)p,z=t+(-1+s-t)p
e a questo punto impongo che questa retta $r$ sia parallela al piano che mi da il testo e quindi dovrebbe venire
$1*(1+s-t)+1*(s-t)+1*(-1+s-t)=0
in sostanza viene $s=-t$ e vado a sostituire in $r$ e quindi viene
$r:{x=t+(1-2t)p, y=t-2tp,z=t+(-1-2t)p
Ora queste $ x y z$ di $r$ esprimono le coordinate di un punto parametrico della retta $r$ che chiamiamo $P_o$
e dopo consideriamo un punto $T$ sull'asse z che avra coordinate $0,0,z_0$
il vettore $P_0-T=(1+(1-2t)p,t-2tp,t+(-1-2t)p-z_0) $dovrà essere perpendicolare all'asse $z$ e quindi in sostanza a un versore $(0,0,1)
Imponendo quindi che il prodotto scalare fra $P_0-T$ e il versore $(0,0,1)$ sia uguale a zero ne viene fuori che $z_0=t+(-1-2t)p$, infine impongo che la distanza fra $P_0$ e $T$ sia $1$ e quindi ottengo un sistemino con
{$z_0=t+(-1-2t)p, (1+(1-2t)p)^2+(t-2tp)^2=1$
Ora però mi servirebbe una terza condizione per concludere....
Intanto vorrei sapere se il modo in cui ho proceduto può andare bene e poi se possibile l'input per terminare l'esercizio
Grazie
[mod="Steven"]Titolo modificato (era "conclusione esercizio"), perché è preferibile sceglierne di più specifici per facilitare gli utenti nella scelta dei topic da visionare. Grazie per la comprensione. [/mod]
Risposte
Grazie ho risolto! Avevo peraltro fatto qualche errore di calcolo 
Grazie a tutti per l'attenzione!
Grazie a tutti per l'attenzione!
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