Trovare una base ortogonale di R^3
Ciao, per favore aiutatemi 
, ho un problema che mi attanaglia da un po'... sto considerando il prodotto scalare definito così:
[tex]x\bullet y=x_1y_3-x_2y_2+x_3y_1[/tex] e devo trovare una base ortogonale di [tex]R^3[/tex].
Sto seguendo una procedura indicata sulle dispense.
Considero la base canonica di [tex]R^3[/tex]
[tex]\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)\bullet \left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)=-1\not= 0[/tex]quindi non tutti i vettori di $R^3$ sono isotropi.
Scelgo un vettore non isotropo e considero la famiglia formata da tale vettore.
la famiglia [tex]( \left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) )[/tex]è una famiglia di vettori non isotropi ed è (banalmente) ortogonale.
C'è un teorema che dice che, verificate le suddette proprietà, vale la relazione
[tex]R^3=<\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) > \oplus <\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) >^\perp[/tex]
allora io mi trovo una base dello spazio ortogonale e ottengo che
[tex]R^3=<\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) > \oplus <\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right) >[/tex]
Da qui come vado avanti?
La procedura mi dice che se tutti i vettori di [tex]<\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right) >[/tex] sono isotropi
allora la famiglia [tex]\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/tex] è una base ortogonale di [tex]R^3[/tex]...
[tex]\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)=0[/tex]
[tex]\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\bullet \left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)=0[/tex]
quindi siamo nel caso in cui tutti i vettori dello spazio ortogonale sono isotropi
ma
[tex]\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)=2\not= 0[/tex]
dunque come fa [tex]\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/tex] a essere una base ortogonale se due vettori non sono ortogonali tra loro?
Sono io che non ho capito la procedura?
aiutatemi vi prego
, ho un problema che mi attanaglia da un po'... sto considerando il prodotto scalare definito così:[tex]x\bullet y=x_1y_3-x_2y_2+x_3y_1[/tex] e devo trovare una base ortogonale di [tex]R^3[/tex].
Sto seguendo una procedura indicata sulle dispense.
Considero la base canonica di [tex]R^3[/tex]
[tex]\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)\bullet \left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)=-1\not= 0[/tex]quindi non tutti i vettori di $R^3$ sono isotropi.
Scelgo un vettore non isotropo e considero la famiglia formata da tale vettore.
la famiglia [tex]( \left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) )[/tex]è una famiglia di vettori non isotropi ed è (banalmente) ortogonale.
C'è un teorema che dice che, verificate le suddette proprietà, vale la relazione
[tex]R^3=<\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) > \oplus <\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) >^\perp[/tex]
allora io mi trovo una base dello spazio ortogonale e ottengo che
[tex]R^3=<\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) > \oplus <\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right) >[/tex]
Da qui come vado avanti?
La procedura mi dice che se tutti i vettori di [tex]<\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right) >[/tex] sono isotropi
allora la famiglia [tex]\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/tex] è una base ortogonale di [tex]R^3[/tex]...
[tex]\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)=0[/tex]
[tex]\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\bullet \left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)=0[/tex]
quindi siamo nel caso in cui tutti i vettori dello spazio ortogonale sono isotropi
ma
[tex]\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet\left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)=2\not= 0[/tex]
dunque come fa [tex]\left( \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/tex] a essere una base ortogonale se due vettori non sono ortogonali tra loro?
Sono io che non ho capito la procedura?
aiutatemi vi prego
Risposte
Direi che questa procedura non ha molto senso.
Comunque per determinare una base basta guardare com'è definito il prodotto scalare.
Ora se prendi $((1),(0),(1))$ e $((-1),(0),(1))$ hai subito che essi sono ortognali.
Perciò ti basta trovare un vettore ortogonale ad entrambi.
Se prendi $((0),(1),(0))$ allora il gioco è fatto.
Comunque per determinare una base basta guardare com'è definito il prodotto scalare.
Ora se prendi $((1),(0),(1))$ e $((-1),(0),(1))$ hai subito che essi sono ortognali.
Perciò ti basta trovare un vettore ortogonale ad entrambi.
Se prendi $((0),(1),(0))$ allora il gioco è fatto.
Ciao, innanzi tutto grazie mille... ma i vettori che mi hai scritto li hai trovati ad occhio?
Ps:Ho scoperto che il professore tiene i ricevimenti anche durante il periodo di esame quindi penso che domanderò a lui riguardo alla procedura.
Ps:Ho scoperto che il professore tiene i ricevimenti anche durante il periodo di esame quindi penso che domanderò a lui riguardo alla procedura.
"Mire_90":
Ciao, innanzi tutto grazie mille... ma i vettori che mi hai scritto li hai trovati ad occhio?
Ps:Ho scoperto che il professore tiene i ricevimenti anche durante il periodo di esame quindi penso che domanderò a lui riguardo alla procedura.
Io vettori li ho trovati ad occhio (anche perchè in genere i prodotti scalari sono semplici)
Se vuoi scannerizzare la procedura e postarla qui fai pure.
Non ti dico se presto o tra qualche giorno, ma ti assicuro che la leggo e ti faccio sapere
Ciao scusa se non ti ho risposto prima..non ne ho avuto il tempo e mi dispiace veramente visto che tu invece sei stato prontissimo nel darmi una mano.
Apparte questo sono stato al ricevimento del professore e ho capito come trovare una base ortogonale.
Ancora grazie mille
Ps: ti lascio un accenno di esempio della procedura nel caso tu fossi curioso e nel caso qualcuno con le mie stesse difficoltà legga questo post
Il mio esercizio chideva una base ortogonale di [tex]R^3[/tex] rispetto al prodotto scalare definito da [tex]x\bullet y=x_1y_3-x_2y_2+x_3y_1[/tex]
1) Cerco un vettore non isotropo dello spazio che sto considerando.Come? Davvero a occhio come dicevi tu
per esempio
[tex]\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)[/tex]
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Poichè la famiglia [tex]( \left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right) )[/tex]è ortogonale e formata da elementi non isotropi posso affermare che
[tex]R^3=<\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)>\oplus <\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)>^\perp=<\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)>\oplus <\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)>[/tex]
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
3)Cerco un elemento non isotropo nello spazio [tex]<\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)>[/tex]
Nel mio caso però i vettori della base sono entrambi isotropi allora prendo un generico vettore di quello spazio e ne faccio l'autoprodotto.
[tex]\left[ \lambda\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+\mu \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)\right]\bullet \left[ \lambda\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+\mu \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)\right]=[/tex]
[tex]\lambda^2\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet \left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+\lambda\mu\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)+\mu^2\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)\bullet \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)=\lambda\mu[/tex] affinchè il vettore cercato sia non isotropo questo prodotto deve essere non nullo
quindi basta che scelga [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] non nulli e ho trovato il vettore che cercavo.Per esempio con [tex]\lambda=\mu=1[/tex] ottengo
[tex]\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right)[/tex]
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4) Poichè la famiglia [tex]( \left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right))[/tex]è ortogonale e formata da elementi non isotropi posso affermare che
[tex]R^3=<\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right)>\oplus <\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right)>^\perp[/tex]
e quindi ripeto il procedimento
Apparte questo sono stato al ricevimento del professore e ho capito come trovare una base ortogonale.
Ancora grazie mille
Ps: ti lascio un accenno di esempio della procedura nel caso tu fossi curioso e nel caso qualcuno con le mie stesse difficoltà legga questo post
Il mio esercizio chideva una base ortogonale di [tex]R^3[/tex] rispetto al prodotto scalare definito da [tex]x\bullet y=x_1y_3-x_2y_2+x_3y_1[/tex]
1) Cerco un vettore non isotropo dello spazio che sto considerando.Come? Davvero a occhio come dicevi tu
per esempio [tex]\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)[/tex]
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2) Poichè la famiglia [tex]( \left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right) )[/tex]è ortogonale e formata da elementi non isotropi posso affermare che
[tex]R^3=<\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)>\oplus <\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)>^\perp=<\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)>\oplus <\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)>[/tex]
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3)Cerco un elemento non isotropo nello spazio [tex]<\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)>[/tex]
Nel mio caso però i vettori della base sono entrambi isotropi allora prendo un generico vettore di quello spazio e ne faccio l'autoprodotto.
[tex]\left[ \lambda\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+\mu \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)\right]\bullet \left[ \lambda\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+\mu \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)\right]=[/tex]
[tex]\lambda^2\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet \left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+\lambda\mu\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)\bullet \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)+\mu^2\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)\bullet \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)=\lambda\mu[/tex] affinchè il vettore cercato sia non isotropo questo prodotto deve essere non nullo
quindi basta che scelga [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] non nulli e ho trovato il vettore che cercavo.Per esempio con [tex]\lambda=\mu=1[/tex] ottengo
[tex]\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right)[/tex]
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4) Poichè la famiglia [tex]( \left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right))[/tex]è ortogonale e formata da elementi non isotropi posso affermare che
[tex]R^3=<\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right)>\oplus <\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right)>^\perp[/tex]
e quindi ripeto il procedimento
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