Trovare una base di Im(f), con f endomorfismo "polinomi
Buongiorno a tutti, è la prima volta che scrivo nel forum anche se in realtà vi ho consultato così tante volte che mi sento già a casa 
.
Vorrei proporvi questo esercizio, tratto da un compitino.
Nello spazio vettoriale $RR_<=_3_[x]$ dei polinomi a coefficienti reali di grado $<=3$, si consideri l'endomorfismo $f$ che al polinomio $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ associa il polinomio $f(p(x)) = (a+c) + (b+d)x + (a+c)x^2 + (b+d)x^3$.
a) determinare un base di $Im(f)$.
b) Si calcolino le coordinate di $f(x^3)$ rispetto alla base $B=(1,x,x^2,x^3)$ di $RR_<=_3_[x]$.
Ho pensato che visto che lo spazio vettoriale a cui appartiene $p(x)$ sarebbe ${1,x,x^2,x^3}$, sostituire ognuno in $f(p(x))$ ma poi dovrei sostiutirlo alla $x$? o alle costanti?
Il punto è che non mi è chiaro, se ho la matrice ci arrivo altrimenti mi risulta difficoltoso
.
Non riesco inoltre a ricavarmi la matrice, sarà che ormai ho il cervello fuso dallo studio.
Grazie a tutti!
.Vorrei proporvi questo esercizio, tratto da un compitino.
Nello spazio vettoriale $RR_<=_3_[x]$ dei polinomi a coefficienti reali di grado $<=3$, si consideri l'endomorfismo $f$ che al polinomio $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ associa il polinomio $f(p(x)) = (a+c) + (b+d)x + (a+c)x^2 + (b+d)x^3$.
a) determinare un base di $Im(f)$.
b) Si calcolino le coordinate di $f(x^3)$ rispetto alla base $B=(1,x,x^2,x^3)$ di $RR_<=_3_[x]$.
Ho pensato che visto che lo spazio vettoriale a cui appartiene $p(x)$ sarebbe ${1,x,x^2,x^3}$, sostituire ognuno in $f(p(x))$ ma poi dovrei sostiutirlo alla $x$? o alle costanti?
Il punto è che non mi è chiaro, se ho la matrice ci arrivo altrimenti mi risulta difficoltoso
. Non riesco inoltre a ricavarmi la matrice, sarà che ormai ho il cervello fuso dallo studio.
Grazie a tutti!
Risposte
Semplicemente, quanto fa $f(1)$? e $f(x)$? e $f(x^2)$? e $f(x^3)$?
"Gi8":
Semplicemente, quanto fa $f(1)$? e $f(x)$? e $f(x^2)$? e $f(x^3)$?
Ehm cioè dovrei sostituire 1 alla incognita x?
$f(1) = 2a + 2b + 2c + 2d$ ?
$f(x) = (a+c) + (b+d)x + (a+c)x^2 ...$
e via così?
No, $1$ è il polinomio costante.
Tu hai $p(x)=1$; ciò vuol dire che $a=1$, $b=c=d=0$. Quindi $f(1)=(1+0)+(0+0)x+(1+0)x^2+(0+0)x^3=1+x^2$
Tu hai $p(x)=1$; ciò vuol dire che $a=1$, $b=c=d=0$. Quindi $f(1)=(1+0)+(0+0)x+(1+0)x^2+(0+0)x^3=1+x^2$
Oh ecco qua, finalmente risolto. Adesso mi rendo conto che era una stupidata. Mi sono persa in un bicchier d'acqua.
E per il punto b?
E per il punto b?
Beh, dovrebbe essere una stupidata pure quella 
quanto fa $f(x^3)$?
quanto fa $f(x^3)$?
$f(x^3)$ con $a=b=c=0$ e $d=1$, quindi $f(x^3)=x + x^3$, infine arrivo a $(0, 1, 0, 1)$ that's right?
All right
Benissimo grazie!
E allora adesso giusto per essere sicura di aver capito, dico:
E se mi avessero dato la base $B=(x^2, x, x^3, 1)$
Le coordinate di $f(x^3)$ rispetto alla base $B$ sarebbero $(0,1,1,0)$.
Si vero??
E allora adesso giusto per essere sicura di aver capito, dico:
E se mi avessero dato la base $B=(x^2, x, x^3, 1)$
Le coordinate di $f(x^3)$ rispetto alla base $B$ sarebbero $(0,1,1,0)$.
Si vero??
Sì, corretto
Bene, ho capito allora. Grazie della tua disponibilità.
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