Trovare una base della somma di due sottospazi

[Ales121]

Ciao ragazzi sono nuovo del forum....mi sono bloccato su questo esercizio

Trovare una base della somma dei seguenti sottospazi di R^4

U=<(2 1 0 -1),(-3 0 -1 1)> V=<(1 -2 1 1),(2 -1 0 1),(1 1 -1 0)>

Io ho strutturato una matrice nel seguente modo

| 2 1 0 -1 |
|-3 0 -1 1 |
|1 -2 1 1 |
|2 -1 0 1 |
|1 1 -1 0 |

ho cercato di trasformala a scala, facendo H 41(-1)-->H53(-1)-->H54(3/2) ma non ottengo le soluzioni che dovrei ottenere cioè che le basi siano (2 1 0 -1) (-3 0 -1 1) (1 -2 1 1)

[Cyclops]

Dunque, sei partito bene facendo la matrice in quel modo.
Chiamiamo R1,R2,R3,R4,R5 le 5 righe della nostra matrice.

$((2,1,0,-1),(-3,0,-1,1),(1,-2,1,1),(2,-1,0,1),(1,1,-1,0))$

Eseguiamo le seguenti operazioni:

1) R1=R1, R2=2R2+3R1, R3=R1-2R3, R4=R1-R4, R5=R1-2R5

La nostra matrice ora sarà:

$((2,1,0,-1),(0,3,-2,-1),(0,5,-2,-3),(0,2,0,-2),(0,-1,2,-1))$

2) R1=R1, R2=R2, R3=3R3-5R2, R4=R2-(3/2)R4, R5=R2+3R5

Ora la matrice è diventata:

$((2,1,0,-1),(0,3,-2,-1),(0,0,1,-1),(0,0,-1,1),(0,0,1,-1))$

Noterai che le ultime 3 righe sono dipendenti fra di loro, quindi al posto delle ultime 2 puoi mettere tutti zeri.
Questo cosa ti dice? Ti dice che la matrice ha rango 3, e che quindi la dimensione della base del tuo sottospazio somma U+W è 3.

Adesso non ti resta altro che prendere 3 vettori fra i 5 iniziali, che siano ovviamente linearmente indipendenti tra di loro.
Sicuramente i 2 vettori di U sono linearmente indipendenti tra di loro (hanno gli zeri su 2 righe diverse).
Per quanto riguarda il 3° vettore, io per esempio prenderei l'ultimo di V, in quanto ha lo zero alla 4° riga, e quindi SICURAMENTE è linearmente indipendente con i vettori di U (che hanno gli zeri sulla 3^ e sulla 2^ riga), ma evidentemente va bene anche il vettore (1 -2 1 1), e non è difficile da verificare...
Basta mettere in una matrice i 3 vettori che scegli, e vedere se ha rango 3. Se è così, hai vinto. Se non lo è, vuol dire che i 3 vettori che hai preso sono linearmente dipendenti e quindi ne devi scegliere altri.
Ad ogni modo, ho verificato che prendendo i 2 vettori di U e 1 qualsiasi dei vettori di V, hai una base di U+W, quindi alla fine puoi scegliere quello che ti piace di più.