Trovare una base a stringhe per un operatore
Ciao a tutti,
ho un esercizio che chiede di trovare la forma canonica di Jordan ed una base a stringhe per l'operatore f.
$f: CC^4 -> CC^4$ definito ponendo $f(x,y,z,t)=(x+y+z,t,-y,x+z)$
Allora:
ho trovato la matrice rappresentativa di f che denoteremo A, ho calcolato il polinomio caratteristico di f ed ho trovato che gli autovalori sono 0 ed 1.
Poi ho calcolato le molteplicità ed ho costruito la matrice formata da blocchi di Jordan.
Ora il problema è calcolare le stringhe.
So che $CC^4 = ddot V_1 + ddot V_2$
$ddotV_lambda$ sono gli autospazi generalizzati.
Ora devo studiare $ddotV_1$
In questo caso $ddotV_1 = V_1$ perchè hanno tutti e due dimensione 1.
Quindi svolto il sistema $(A-lambdaI) x = 0$, trovo le soluzioni del sistema e quindi una 1-stringa di lunghezza 1: $(2,1,-1,1)$.
Ora devo studiare $ddotV_0$
Quindi devo studiare l'operatore f ristretto su $ddotV_0$ che denoteremo con $\varphi$
Ora devo calcolare una base del suddetto autospazio generalizzato, quindi svolgo il sistema:
$A^3 x =0$ perchè so che l'indice di nilpotenza è 3.
Alla fine ottengo la base $B= {(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}$
Ora trovo la matrice rappresentativa di $varphi$ rispetto alla base $B$. Che chiameremo $M$.
Ecco il problema.
Calcolo una base per le colonne di $M^2$ che è $u=[-1,0,0]^T$
Quindi la stringa cercata è:
$[0,0,1]^T ->M-> [0,1,0]^T ->M->[-1,0,0]^T->M->0$
Il problema è che con questo calcolo abbiamo utilizzato le coordinate rispetto alla base B.
Ora come faccio a sapere a cosa corrispondono queste colonne rispetto alla base canonica?
Per esempio,
$[0,0,1]^T$ corrisponde a $(0,0,0,1)$
$[0,1,0]^T$ corrisponde a $(0,1,0,0)$
$[-1,0,0]^T$ corrisponde a $(1,0,-1,0)$
Ma non ho capito che calcoli devo fare per arrivarci.
Potete illuminarmi?
Scusate se ho scritto così tanto
ho un esercizio che chiede di trovare la forma canonica di Jordan ed una base a stringhe per l'operatore f.
$f: CC^4 -> CC^4$ definito ponendo $f(x,y,z,t)=(x+y+z,t,-y,x+z)$
Allora:
ho trovato la matrice rappresentativa di f che denoteremo A, ho calcolato il polinomio caratteristico di f ed ho trovato che gli autovalori sono 0 ed 1.
Poi ho calcolato le molteplicità ed ho costruito la matrice formata da blocchi di Jordan.
Ora il problema è calcolare le stringhe.
So che $CC^4 = ddot V_1 + ddot V_2$
$ddotV_lambda$ sono gli autospazi generalizzati.
Ora devo studiare $ddotV_1$
In questo caso $ddotV_1 = V_1$ perchè hanno tutti e due dimensione 1.
Quindi svolto il sistema $(A-lambdaI) x = 0$, trovo le soluzioni del sistema e quindi una 1-stringa di lunghezza 1: $(2,1,-1,1)$.
Ora devo studiare $ddotV_0$
Quindi devo studiare l'operatore f ristretto su $ddotV_0$ che denoteremo con $\varphi$
Ora devo calcolare una base del suddetto autospazio generalizzato, quindi svolgo il sistema:
$A^3 x =0$ perchè so che l'indice di nilpotenza è 3.
Alla fine ottengo la base $B= {(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}$
Ora trovo la matrice rappresentativa di $varphi$ rispetto alla base $B$. Che chiameremo $M$.
Ecco il problema.
Calcolo una base per le colonne di $M^2$ che è $u=[-1,0,0]^T$
Quindi la stringa cercata è:
$[0,0,1]^T ->M-> [0,1,0]^T ->M->[-1,0,0]^T->M->0$
Il problema è che con questo calcolo abbiamo utilizzato le coordinate rispetto alla base B.
Ora come faccio a sapere a cosa corrispondono queste colonne rispetto alla base canonica?
Per esempio,
$[0,0,1]^T$ corrisponde a $(0,0,0,1)$
$[0,1,0]^T$ corrisponde a $(0,1,0,0)$
$[-1,0,0]^T$ corrisponde a $(1,0,-1,0)$
Ma non ho capito che calcoli devo fare per arrivarci.
Potete illuminarmi?
Scusate se ho scritto così tanto
Risposte
Nessuno può aiutarmi? 
Mi rispondo da sola, può servire a qualcun'altro:
avendo le coordinate rispetto alla base B e dovendo trovare le coordinate rispetto alla base canonica, allora prendo la matrice del cambiamento delle coordinate dalla base B alla base canonica (cioè metto in colonna i vettori della base B) e la moltiplico per u (cioè le coordinate che avevamo trovato rispetto alla base B).
avendo le coordinate rispetto alla base B e dovendo trovare le coordinate rispetto alla base canonica, allora prendo la matrice del cambiamento delle coordinate dalla base B alla base canonica (cioè metto in colonna i vettori della base B) e la moltiplico per u (cioè le coordinate che avevamo trovato rispetto alla base B).
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