Trovare un particolare punto sull'ellisse
Ciao a tutti,
ho un problema abbastanza complesso e non so dove mettere mano XD.
Allora, ho un ellisse di cui conosco:
- le coordinate del centro (x,y);
- le coordinate dell'estremità sinistra dell'asse maggiore dell'ellsse (wx, wy);
- le coordinate dell'estremità in basso dell'asse minore dell'ellisse (hx, hy).
Ora costruisco il rettangolo (diciamo nel terzo quadrante dell'ellisse), ovvero di larghezza (asse maggiore/2) e altezza (asse minore/2) il cui vertice in alto a destra coincide con il centro dell'ellisse.
Congiungo il vertice in basso a sinistra del rettangolo con il vertice in alto a destra.
Voglio ottenere le coordinate del punto di intersezione di questo segmento con l'ellisse.
Grazie di tutto
ho un problema abbastanza complesso e non so dove mettere mano XD.
Allora, ho un ellisse di cui conosco:
- le coordinate del centro (x,y);
- le coordinate dell'estremità sinistra dell'asse maggiore dell'ellsse (wx, wy);
- le coordinate dell'estremità in basso dell'asse minore dell'ellisse (hx, hy).
Ora costruisco il rettangolo (diciamo nel terzo quadrante dell'ellisse), ovvero di larghezza (asse maggiore/2) e altezza (asse minore/2) il cui vertice in alto a destra coincide con il centro dell'ellisse.
Congiungo il vertice in basso a sinistra del rettangolo con il vertice in alto a destra.
Voglio ottenere le coordinate del punto di intersezione di questo segmento con l'ellisse.
Grazie di tutto
Risposte
io farei:
dato centro ed assi e i quattro punti dell'ellisse dovresti trovare la sua equazione in forma canonica e da qui la sua equazione rispetto agli assi cartesiani.
gli estremi del segmento ti individuano una retta.
metti a sistema e trovi il punto desiderato
dato centro ed assi e i quattro punti dell'ellisse dovresti trovare la sua equazione in forma canonica e da qui la sua equazione rispetto agli assi cartesiani.
gli estremi del segmento ti individuano una retta.
metti a sistema e trovi il punto desiderato
La costruzione, se ho capito bene che cosa stai cercando di fare, è invariante per trasformazioni affini. Puoi quindi scriverti la trasformazione dalla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine alla tua ellisse e quindi applicare questa trasformazione al punto corrispondente alla tua intersezione nel caso particolare della circonferenza unitaria.
caspita hai ragione apatriarca!!!
Fantastica questa soluzione, ed è anche una soluzione molto pulita per il mio caso.
Ma non sono molto ferrato, come faccio a descrivere la trasformazione di un punto generico dalla circonferenza all'ellisse?
Mi potresti fare un esempio pratico.
GRAZIEEEE
Fantastica questa soluzione, ed è anche una soluzione molto pulita per il mio caso.
Ma non sono molto ferrato, come faccio a descrivere la trasformazione di un punto generico dalla circonferenza all'ellisse?
Mi potresti fare un esempio pratico.
GRAZIEEEE
Se l'ellissi è allineata con gli assi si tratta semplicemente di
\[ \left\{ \begin{array}{l} x' = a \, x + x_C \\ y' = b \, y + y_C \end{array} \right. \]
dove \(x, y\) sono le coordinate del punto da trasformare, \(x', y'\) le coordinate del punto trasformato, \(a, b\) le lunghezze dei semiassi orizzontale e verticale rispettivamente e \(x_C, y_C\) sono le coordinate del centro dell'ellissi. Si tratta insomma di uno scalamento seguito da una traslazione. Nel caso più generale è anche presente una rotazione tra lo scalamento e la traslazione.
\[ \left\{ \begin{array}{l} x' = a \, x + x_C \\ y' = b \, y + y_C \end{array} \right. \]
dove \(x, y\) sono le coordinate del punto da trasformare, \(x', y'\) le coordinate del punto trasformato, \(a, b\) le lunghezze dei semiassi orizzontale e verticale rispettivamente e \(x_C, y_C\) sono le coordinate del centro dell'ellissi. Si tratta insomma di uno scalamento seguito da una traslazione. Nel caso più generale è anche presente una rotazione tra lo scalamento e la traslazione.
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