Trovare un isomorfismo esplicito
Buongiorno!!
Nell'ultimo compito di geometria1 ho trovato questo esercizio:
"Sia $f: R_2[x] \to D_3$ dove $R_2[x]$ sia lo spazio vettoriale dei coefficienti reali di grado inferiore o uguale a 2 e $D_3$ quello delle matrici quadrate diagonali di ordine 3.
Si mostri che i due spazi sono isomorfi trovando un isomorfismo esplicito $f$ tra di loro"
Dalla teoria so che un'applicazione lineare $f$ è un isomorfismo se è bigettiva, e dunque se il $kerf={0}$ (il nucleo) e se la $dimImf=dimD_3$ (dove $dimImf$ rappresenta la dimensione dell'immagine dell'applicazione $f$).
Inoltre se ho due spazi vettoriali, il questo caso $R_2[x]$ e $D_3$, questi sono detti isomorfi se hanno stessa dimensione.
A questo punto dovrei trovare un isomorfismo esplicito.
Quindi prendo una base qualunque $B={e_1,.......e_n}$ di $R_2[x]$ (la cui base canonica è ${1,x,x^2}$)
E dico che $f(e_i)=(e_j)$
dove $e_j$ sono i vettori di una base qualunque $B'$ di $D_3$
Oltre al fatto che credo di sbagliare, sinceramente non saprei neanche che altro dovrei fare..
Così non mi pare di aver fatto granchè. Non credo neanche di aver capito come si costruisce un isomorfismo esplicito..
Nell'ultimo compito di geometria1 ho trovato questo esercizio:
"Sia $f: R_2[x] \to D_3$ dove $R_2[x]$ sia lo spazio vettoriale dei coefficienti reali di grado inferiore o uguale a 2 e $D_3$ quello delle matrici quadrate diagonali di ordine 3.
Si mostri che i due spazi sono isomorfi trovando un isomorfismo esplicito $f$ tra di loro"
Dalla teoria so che un'applicazione lineare $f$ è un isomorfismo se è bigettiva, e dunque se il $kerf={0}$ (il nucleo) e se la $dimImf=dimD_3$ (dove $dimImf$ rappresenta la dimensione dell'immagine dell'applicazione $f$).
Inoltre se ho due spazi vettoriali, il questo caso $R_2[x]$ e $D_3$, questi sono detti isomorfi se hanno stessa dimensione.
A questo punto dovrei trovare un isomorfismo esplicito.
Quindi prendo una base qualunque $B={e_1,.......e_n}$ di $R_2[x]$ (la cui base canonica è ${1,x,x^2}$)
E dico che $f(e_i)=(e_j)$
dove $e_j$ sono i vettori di una base qualunque $B'$ di $D_3$
Oltre al fatto che credo di sbagliare, sinceramente non saprei neanche che altro dovrei fare..
Così non mi pare di aver fatto granchè. Non credo neanche di aver capito come si costruisce un isomorfismo esplicito..
Risposte
Lascia stare un attimo le basi e prova a ragionare un po' più euristicamente.
Poniti queste domande.
- Un polinomio di secondo grado da quanti e quali parametri è individuato?
- Una matrice diagonale [tex]$3\times 3$[/tex] da quanti e quali parametri è individuata?
Risposto a questo, una biiezione tra [tex]$\mathbb{R}_2[X]$[/tex] e [tex]$D_3$[/tex] si costruisce immediatamente... Ti rimane solo da dimostrare che quella biiezione è un isomorfismo, il che è fattibilissimo.
Poniti queste domande.
- Un polinomio di secondo grado da quanti e quali parametri è individuato?
- Una matrice diagonale [tex]$3\times 3$[/tex] da quanti e quali parametri è individuata?
Risposto a questo, una biiezione tra [tex]$\mathbb{R}_2[X]$[/tex] e [tex]$D_3$[/tex] si costruisce immediatamente... Ti rimane solo da dimostrare che quella biiezione è un isomorfismo, il che è fattibilissimo.
Mmh...
i parametri di un polinomio di secondo grado sono 3, dovrebbero essere i valori assunti da $a$ $b$ e $c$, se considero un polinomio generico $a+bx+cx^2$ (spero di non sbagliare..)
mentre quelli di una matrice diagonale $3x3$ dovrebbero essere gli elementi della diagonale principale..
giusto?
se $f:R_2[x]\to D_3$ prende gli elementi di $R_2[x]$ e li porta in $D_3$
fa qualcosa del tipo
$a+bx+cx^2\to$ $((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c))$
?
i parametri di un polinomio di secondo grado sono 3, dovrebbero essere i valori assunti da $a$ $b$ e $c$, se considero un polinomio generico $a+bx+cx^2$ (spero di non sbagliare..)
mentre quelli di una matrice diagonale $3x3$ dovrebbero essere gli elementi della diagonale principale..
giusto?
se $f:R_2[x]\to D_3$ prende gli elementi di $R_2[x]$ e li porta in $D_3$
fa qualcosa del tipo
$a+bx+cx^2\to$ $((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c))$
?
Esattissimo.
Ora, ricordando come sono definite le operazioni che rendono [tex]$\mathbb{R}_2[X]$[/tex] e [tex]$D_3$[/tex] spazi vettoriali, prova che quell'applicazione è lineare.
Se ci riesci, vinci, perchè hai costruito un omomorfismo biiettivo, ossia un isomorfismo.
Ora, ricordando come sono definite le operazioni che rendono [tex]$\mathbb{R}_2[X]$[/tex] e [tex]$D_3$[/tex] spazi vettoriali, prova che quell'applicazione è lineare.
Se ci riesci, vinci, perchè hai costruito un omomorfismo biiettivo, ossia un isomorfismo.
La linearità che devi dimostrare è nei coefficienti, non nella variabile $X$.
Insomma, sai come è definita la somma di polinomi, no?
Cioè se [tex]$p(X)=aX^2+bX+c$[/tex] e [tex]$q(X)=\alpha X^2+\beta X+\gamma$[/tex], allora [tex]$p(X)+q(X)=(a+\alpha) X^2+(b+\beta) X+(c+\gamma)$[/tex]...
Insomma, sai come è definita la somma di polinomi, no?
Cioè se [tex]$p(X)=aX^2+bX+c$[/tex] e [tex]$q(X)=\alpha X^2+\beta X+\gamma$[/tex], allora [tex]$p(X)+q(X)=(a+\alpha) X^2+(b+\beta) X+(c+\gamma)$[/tex]...
"gugo82":
La linearità che devi dimostrare è nei coefficienti, non nella variabile $X$.
Insomma, sai come è definita la somma di polinomi, no?
Cioè se [tex]$p(X)=aX^2+bX+c$[/tex] e [tex]$q(X)=\alpha X^2+\beta X+\gamma$[/tex], allora [tex]$p(X)+q(X)=(a+\alpha) X^2+(b+\beta) X+(c+\gamma)$[/tex]...
si ci sono!!!grazie!!!!
ma quindi mi basta dimostrare la linearità?????????
ma se è un'applicazione lineare, non è già ovvio che valga la linearità?????
ma se è un'applicazione lineare, non è già ovvio che valga la linearità?????
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