Trovare un Hom

[geckissimo]

buondì ragazzi... ormai si può dire che sono diventato un utente fisso e tale resterò
volevo che mi aiutaste a ragionare su un quesito

Trovare, se possibile, un omomorfismo $f: M^{2} RR -> RR2[x]$, avente le seguenti proprietà
a) $Kerf={( ( a , b ),( c , d ) ); a+b=0, c-d=0}$
b) $f( ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) ) = x^{2}+x+1$

E' possibile trovarne uno surgettivo avente soltanto la proprietà a?
E' possibile trovarne uno iniettivo avente soltanto la proprietà b?

allora io ho fatto i seguenti ragionamenti
per la proprietà a si ha che il $dim Kerf =2$ ovvero che, per la relazione dimensionale, $dim Imf = 2$.
Per definizione il nucleo è l'insieme di quei vettori che hanno immagine nulla quindi in $RR2[x]$ il nucleo ha dimensione $0$
inoltre il fatto che $f: M^{2} RR -> RR2[x]$ mi permette di dire che non può essere surgettiva ovvero che $dim Imf != dim RR2[x]$
ma poichè il nucleo ha dimensione 0 e l'immagine ha dimensione 2 un tale omomorfismo non può esservi

dopo questi ragionamenti (spero di non aver detto qualche gastroneria) mi sono spento...
potete aiutarmi?

[cirasa]

"geckissimo":
[...]
per la proprietà a si ha che il $dim Kerf =2$
[...]
Per definizione il nucleo è l'insieme di quei vettori che hanno immagine nulla quindi in $RR2[x]$ il nucleo ha dimensione $0$

Ma insomma 'sto nucleo ha dimensione $2$ o ha dimensione $0$?
Evidentemente la prima frase va bene, perchè hai calcolato la dimensione del nucleo dalla a.
La seconda frase non ha senso, perchè il nucleo è sottospazio di $M_2RR$ e non ha senso parlare di dimensione del nucleo in $RR_2[x]$.

[geckissimo]

ovviamente ha dimensione $2$!
pensavo che poichè il nucleo manda vettori da uno spazio di dimensione 4 ad uno di dimensione 3 allora il vettore nullo dello spazio $RR_2[x]$ mi forniva la dimensione del nucleo (poichè appartiene a Ker f quindi in $RR_2[x]$ il nucleo ha dimensione 0)
ho fatto quel ragionamento un po contorto perchè ho il cervello in pappa...scusate

non oso aggiungere altro perchè il mio cervello è andato... se potete fatelo ragionare voi

[cirasa]

"geckissimo":
[...](poichè appartiene a Ker f quindi in $RR_2[x]$ il nucleo ha dimensione 0)

Continuo a non capire
Data l'applicazione $f:M_2(RR)\to RR_2[x]$ il nucleo di $f$ (denotato anche con $"ker"f$) è sottospazio di $M_2(RR)$! Non ha senso questa cosa che hai scritto qui!

Risolvo l'esercizio. Sostanzialmente c'eri quasi, avevi solo aggiunto cose senza senso.

"geckissimo":
E' possibile trovarne uno surgettivo avente soltanto la proprietà a?

Per la proprietà a si ha che il $dim ("Ker"f) =2$ ovvero che, per la relazione dimensionale, $dim("Im"f) = 2$.
Affinchè sia surgettivo deve essere $"Im"f=RR_2[x]$, quindi deve essere $dim("Im"f)=dim(RR_2[x])$.
Ma questo è impossibile perchè $dim("Im"f)=2$, mentre $dim(RR_2[x])=3$.

[geckissimo]

Per quanto riguarda l'altra domanda la storia dovrebbe essere così: poichè stiamo considerando un omomorfismo che va da dimensione 4 a dimensione 3 non è possibile trovarne uno iniettivo!

"cirasa":
Per la proprietà a si ha che il $dim ("Ker"f) =2$ ovvero che, per la relazione dimensionale, $dim("Im"f) = 2$.
Affinchè sia surgettivo deve essere $"Im"f=RR_2[x]$, quindi deve essere $dim("Im"f)=dim(RR_2[x])$.
Ma questo è impossibile perchè $dim("Im"f)=2$, mentre $dim(RR_2[x])=3$.

Hai ragione c'ero quasi
Ti ringrazio ancora!

[cirasa]

"geckissimo":Per quanto riguarda l'altra domanda la storia dovrebbe essere così: poichè stiamo considerando un omomorfismo che va da dimensione 4 a dimensione 3 non è possibile trovarne uno iniettivo!

Ok. Non esistono omomorfismi iniettivi da uno spazio di dimensione 4 ad uno di dimensione 3!

Ciao!

[geckissimo]

standing ovation for youuuuuuuu!!
grazie ancora cirasa... c'è mancato poco che ti chiedevo il numero di telefono