Trovare spazio topologico tale che...

[otta96]

Qualche giorno fa mi sono inventato un esercizio di topologia e ve lo illustro: "trovare uno spazio topologico che non può essere omeomorfo a un qualsiasi quoziente di un qualsiasi sottospazio di $RR^n$", ma così è un po' troppo facile infatti basta prendere uno spazio con cardinalità maggiore di quella del continuo, oppure avevo pensato anche ad uno non paracompatto, infatti qualsiasi sottospazio di $RR^n$ (essendo metrico) è paracompatto, e immagine continua e aperta (proiezione al quozinte) di paracompatti è paracompatta. Quindi ho pensato di modificare i testo dell'esercizio sostituendo al posto di $RR^n$ un prodotto arbitrario di $RR$ per sé stesso, in modo tale che nessuna delle soluzioni precedenti potesse andare bene, ma ora non mi riesce risolverlo, a qualcuno qui viene in mente un possibile siffatto spazio?

[dan952]

Sia $Y \sub RR^{I}$ definiamo una funzione continua aperta $f: Y \mapsto X$ in modo che sia suriettiva, presa una base $\mathcal{B}_{X}={B_j}_{j \in J}$ della topologia di $X$ e $\mathcal{B}_{Y}$ una base per la topologia di $Y$, risulta $uu_{j \in J} f^{-1}(B_j) \sube \mathcal{B}_{Y}$, e si applica il teorema di isomorfismo per spazi topologici.

[killing_buddha]

"Martino":No, per come la vedo io la questione della cardinalità non risolve niente. Il problema è ancora aperto.

Il problema è: se $X$ è uno spazio topologico qualsiasi è vero che $X$ è omeomorfo a un quoziente di un sottospazio di $RR^I$ dove $I$ è un insieme opportuno?

Se accetti che esista un cardinale più grande del numero di topologie su tutti i quozienti di tutti i sottospazi di $\mathbb{R}^I$, prendilo: questo non può essere omeomorfo a nessuno di questi quozienti di sottospazi. A fare una stima a braccio, siccome le topologie su un insieme $A$ sono $2^{|A|}$, i sottospazi di $\mathbb R^I$ sono \(2^{\mathfrak{c}^{|I|}}\) e le relazioni di equivalenza sono (in quanto sottoinsiemi del prodotto) \(2^{\mathfrak{c}^{|I|}\cdot \mathfrak{c}^{|I|}}\), basta prendere
\[
\lambda \gneq 2^{2^{\mathfrak{c}^{|I|}\cdot \mathfrak{c}^{|I|}}\cdot 2^{\mathfrak{c}^{|I|}}}
\] Quello che non capisco io è per quale motivo fissarsi su $\mathbb R$ e su $\mathbb Q$. Questo stesso ragionamento (se funziona!) vale per ogni insieme.

[otta96]

Il punti è che $I$ può variare tra tutti gli insiemi, quindi come può esistere un cardinale che soddisfa la disuguaglianza che hai trovato tu per ogni insieme $I$?
Ho detto $RR$ perché l'esercizio mi è venuto in mente così, ma uno potrebbe anche mettersi a generalizzarlo.

[killing_buddha]

Ah, adesso ho capito; sì, temo ancora che non esista ma non so più come dimostrarlo. Probabilmente è il momento di chiedere su MSE o MO?

[otta96]

"killing_buddha":Probabilmente è il momento di chiedere su MSE o MO?

Fa sempre piacere scoprire che esercizi che non riescono non riescono nemmeno a persone molto più brave, quindi questa proposta non può che farmi piacere, se qualcuno mette la domanda su uno di questi siti sono contento.

[killing_buddha]

Era una domanda piuttosto difficile https://math.stackexchange.com/question ... -quotients

[otta96]

Intento grazie a tutti di tutte le risposte, e grazie in particolare a killing_buddha per aver postato la mia domanda su MSE, faccio un riepilogo per vedere se ho capito bene: dunque esiste uno spazio (che è $X={0,1,2}$ con la topologia ${\emptyset,{0},X}$) che "genera" tutti gli spazi topologici prendendo quozienti di sottospazi di suoi prodotti, mentre invece se ci limitassimo a sottospazi di prodotti un tale spazio non esisterebbe. Corretto?
A questo punto ci possiamo divertire a complicare il problema chiedendo di dare una caratterizzazione degli spazi che "generano" tutti gli spazi topologici nello stesso senso visto prima.

[Studente Anonimo]

Grande! La risposta di Eric Wofsey in realtà mostra che lo spazio $X$ da lui considerato verifica la proprietà che per ogni spazio $T$ esiste un insieme $I$ tale che $T$ è omeomorfo a un sottospazio di $X^I$ (cioè non serve passare a quoziente). La domanda diventa più difficile se togliamo "sottospazio", cioè esiste $X$ tale che ogni spazio è omeomorfo a un quoziente di una potenza di $X$? User87690 ha risposto a questa ma non ci ho capito niente di quello che ha detto.

[otta96]

"Martino":La domanda diventa più difficile se togliamo "sottospazio", cioè esiste $X$ tale che ogni spazio è omeomorfo a un quoziente di una potenza di $X$? User87690 ha risposto a questa ma non ci ho capito niente di quello che ha detto.

Nemmeno io, ho capito solo che la risposta è che non esiste.