Trovare spazio topologico tale che...
Qualche giorno fa mi sono inventato un esercizio di topologia e ve lo illustro: "trovare uno spazio topologico che non può essere omeomorfo a un qualsiasi quoziente di un qualsiasi sottospazio di $RR^n$", ma così è un po' troppo facile infatti basta prendere uno spazio con cardinalità maggiore di quella del continuo, oppure avevo pensato anche ad uno non paracompatto, infatti qualsiasi sottospazio di $RR^n$ (essendo metrico) è paracompatto, e immagine continua e aperta (proiezione al quozinte) di paracompatti è paracompatta. Quindi ho pensato di modificare i testo dell'esercizio sostituendo al posto di $RR^n$ un prodotto arbitrario di $RR$ per sé stesso, in modo tale che nessuna delle soluzioni precedenti potesse andare bene, ma ora non mi riesce risolverlo, a qualcuno qui viene in mente un possibile siffatto spazio?
Risposte
Mi sembra che un siffatto spazio debba essere connesso (perché la connessione è preservata dai prodotti cartesiani arbitrari e dalle immagini continue).
Ma la connessione non passa ai sottospazi...
Ah scusami avevo letto "quoziente di $RR^n$", allora ci penso meglio. Il teorema di Tychonoff non implica che il prodotto $RR^RR$ è localmente compatto?
No, un prodotto è localmente compatto se e solo se tutti tranne una quantità finita di spazi è sono compatti e i rimanenti finiti devono essere almeno localmente compatti.
P.S. Anche se fosse non passa ai sottospazi.
P.S. Anche se fosse non passa ai sottospazi.
Quello che fa fallire l'esercizio è che su \(\mathbb{R}^\mathbb{R}\) ci sono tante metriche inequivalenti, e dunque un sacco di topologie molto più selvagge dell'euclidea; quale topologia vuoi considerare su \(\mathbb{R}^\mathbb{R}\) dipende fortemente da ciò che vuoi fare con questo spazio: se vuoi che sia un mero spazio topologico compattamente generato, è naturale considerare su \(\mathbb{R}^\mathbb{R}\) la topologia che ha come prebase i sottoinsiemi del tipo \([K,U]=\{f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f(K)\subseteq U\}\), se $K$ è compatto e $U$ aperto in $\mathbb R$. Se vuoi considerarlo come una varietà (di dimensione infinita), è naturale considerare la topologia euclidea del prodotto \(\prod_{\lambda\in\mathbb R}\mathbb R\). Se vuoi considerarlo come uno spazio vettoriale topologico, ci sono millanta definizioni possibili per una topologia indotta da una famiglia di seminorme, per esempio dedotte da una qualche applicazione bilineare \(\Xi : \mathbb{R}^\mathbb{R} \times (\mathbb{R}^\mathbb{R})^\lor \to \mathbb R\).
Insomma, dì che topologia vuoi sullo spazio delle funzioni da R in R e forse si può rispondere; prima, no.
Insomma, dì che topologia vuoi sullo spazio delle funzioni da R in R e forse si può rispondere; prima, no.
Penso che intenda la topologia prodotto.
Mica perforza esiste uno spazio del genere... La cosa mi fa pensare molto ai moduli che sono sempre quoziente di un qualche modulo libero.
L'esercizio può essere pure questo:
"Sia $T$ uno spazio topologico e $P=\prod_{i \in I} \mathbb{R}$ , dove $I$ è un insieme finito o infinito. Allora esiste un sottospazio $U$ di $P$ tale che $T$ è omeomorfo ad un quoziente di $U$.
L'esercizio può essere pure questo:
"Sia $T$ uno spazio topologico e $P=\prod_{i \in I} \mathbb{R}$ , dove $I$ è un insieme finito o infinito. Allora esiste un sottospazio $U$ di $P$ tale che $T$ è omeomorfo ad un quoziente di $U$.
"Martino":
Penso che intenda la topologia prodotto.
Non è così scontato: chiaramente in questioni del genere con spazi di funzioni è essenziale specificare la topologia che usi, perché certe cose convergono e altre no.
"dan95":
Mica perforza esiste uno spazio del genere... La cosa mi fa pensare molto ai moduli che sono sempre quoziente di un qualche modulo libero.
L'esercizio può essere pure questo:
"Sia $T$ uno spazio topologico e $P=\prod_{i \in I} \mathbb{R}$ , dove $I$ è un insieme infinito. Allora esiste un sottospazio $U$ di $P$ tale che $T$ è omeomorfo ad un quoziente di $U$.
No, detto così è falso: dato \(U\subseteq P\) in queste notazioni, ogni quoziente di $U$ ha al più la cardinalità di $P$ (perché la proiezione al quoziente è un epimorfismo in \(\bf Set\)). Ora, basta prendere l'insieme \(2^P\) per concludere che non ci sono omeomorfismi \(2^P \cong T\) semplicemente perché non ci sono biiezioni.
Ora, venendo alla risposta vera e propria, io diffiderei dell'esistenza di questo "spazio universale", e c'è una ragione formale per dirlo: i teoremi del tipo "ogni oggetto di una categoria \(\mathcal X\) è quoziente di un libero della forma $FA$, per $A$ insieme" si basano sul fatto che per \(\mathcal X\) sono vere le due seguenti cose:
1. \(\mathcal X\) è monadica su \(\bf Set\)
2. l'immagine essenziale dell'aggiunto sinistro a \(\mathcal{U} \colon \mathcal X \to \bf Set\) è un generatore di \(\mathcal X\) (come conseguenza della definizione, infatti, ogni oggetto \(X\in\mathcal X\) si "presenta" in un coequalizzatore
\[
FR \rightrightarrows FG \to X
\] dove $R,G$ sono rispettivamente insiemi di Relazioni tra Generatori di $X$; ciò accade in tutte le categorie di varietà di algebre, che sono appunto monadiche su Set e tali che i liberi siano tutti oggetti proiettivi.
In \(\bf Top\) questo non succede, perché l'aggiunzione \(ind \dashv \mathcal U \dashv disc\) dove "ind" dà a un insieme $A$ la topologia banale \(\{\varnothing, A\}\), e "disc" quella discreta $2^A$ non dà luogo a monadi le cui algebre siano tutti gli spazi topologici. Del resto questo non sorprende: la teoria degli spazi topologici non è algebrica.
Alla luce di ciò ci sono due domande interessanti e ancora aperte:
1. La categoria degli spazi di Hausdorff compatti è monadica su \(\bf Set\): ciò vuol dire che le algebre per la monade degli ultrafiltri sono tutti e soli gli spazi T2 compatti. Ma chi sono in questa categoria gli oggetti proiettivi? E chi sono le algebre libere? E' sempre vero che le seconde sono contenute nei primi?
2. Sostituire omeomorfo a "omotopicamente equivalente" nella domanda in OP
Ah è vero
Secondo me quello che si sta chiedendo è questo: esiste una proprietà topologica preservata dalle operazioni di sottospazio, proiezione al quoziente (immagine continua aperta) e prodotto cartesiano arbitrario? Ripassando velocemente le proprietà note non ne ho trovata una così. Per esempio Hausdorff passa ai sottospazi e ai prodotti ma non alle immagini continue, per esempio la compattezza passa ai prodotti e alle immagini continue ma non ai sottospazi.
Una versione che mi verrebbe da proporre è: esiste uno spazio topologico $X$ tale che per ogni spazio topologico $Y$ esiste un insieme $I$ tale che $Y$ è omeomorfo a un quoziente di un sottospazio di $X^I$? (dove $X^I$ ha la topologia prodotto).
Una versione categoriale (anche se probabilmente non del tutto equivalente a quella proposta) sarebbe questa: la categoria degli spazi topologici ammette oggetti liberi?
Una versione che mi verrebbe da proporre è: esiste uno spazio topologico $X$ tale che per ogni spazio topologico $Y$ esiste un insieme $I$ tale che $Y$ è omeomorfo a un quoziente di un sottospazio di $X^I$? (dove $X^I$ ha la topologia prodotto).
Una versione categoriale (anche se probabilmente non del tutto equivalente a quella proposta) sarebbe questa: la categoria degli spazi topologici ammette oggetti liberi?
"Martino":
Una versione categoriale (anche se probabilmente non del tutto equivalente a quella proposta) sarebbe questa: la categoria degli spazi topologici ammette oggetti liberi?
Li ammette, ma non basta: serve che l'aggiunzione sia monadica e che i liberi siano una sottocategoria dei proiettivi. Questo avviene in tantissime categorie di modelli di teorie algebriche monosorte, ma non negli spazi topologici. Gli spazi topologici sono "diversi", e orgogliosi di esserlo
"killing_buddha":Davvero? Quali sono?
Li ammette
"Martino":Davvero? Quali sono?
[quote="killing_buddha"]Li ammette
[/quote]Ma te l'ho scritto, ne ammette di liberi e di coliberi, l'aggiunto sinistro e destro del dimenticante \(\mathcal U\)! Uno mette la topologia discreta, e l'altro l'indiscreta su un insieme.
Accidenti quante risposte! Ora con calma mi metto a rispondere a tutti.
Pensavo che fosse ovvio, ma forse certe cose meglio non sottintenderle, nei prodotti di $RR$ ci metto la topologia prodotto, nei sottospazi la topologia del sottospazio e nei quozienti la topologia quoziente.
Esatto.
Infatti non è detto che esista, ma allora l'esercizio può considerarsi risolto dimostrando che non esistono spazi di questo tipo.
La tua riformulazione del problema mi piace, però specificherei che prima si fissa $T$, poi si chiede che esista un $I$ con la proprietà che hai detto tu, sennò come ha fatto notare killing_buddha basta prendere uno spazio in biezione con $2^P$ per trovare un controesempio.
No, detto così è falso: dato \( U\subseteq P \) in queste notazioni, ogni quoziente di $ U $ ha al più la cardinalità di $ P $ (perché la proiezione al quoziente è un epimorfismo in \( \bf Set \)). Ora, basta prendere l'insieme \( 2^P \) per concludere che non ci sono omeomorfismi \( 2^P \cong T \) semplicemente perché non ci sono biiezioni.
Ora, venendo alla risposta vera e propria, io diffiderei dell'esistenza di questo "spazio universale", e c'è una ragione formale per dirlo: i teoremi del tipo "ogni oggetto di una categoria \( \mathcal X \) è quoziente di un libero della forma $ FA $, per $ A $ insieme" si basano sul fatto che per \( \mathcal X \) sono vere le due seguenti cose:
1. \( \mathcal X \) è monadica su \( \bf Set \)
2. l'immagine essenziale dell'aggiunto sinistro a \( \mathcal{U} \colon \mathcal X \to \bf Set \) è un generatore di \( \mathcal X \) (come conseguenza della definizione, infatti, ogni oggetto \( X\in\mathcal X \) si "presenta" in un coequalizzatore
\[ FR \rightrightarrows FG \to X \] dove $ R,G $ sono rispettivamente insiemi di Relazioni tra Generatori di $ X $; ciò accade in tutte le categorie di varietà di algebre, che sono appunto monadiche su Set e tali che i liberi siano tutti oggetti proiettivi.
In \( \bf Top \) questo non succede, perché l'aggiunzione \( ind \dashv \mathcal U \dashv disc \) dove "ind" dà a un insieme $ A $ la topologia banale \( \{\varnothing, A\} \), e "disc" quella discreta $ 2^A $ non dà luogo a monadi le cui algebre siano tutti gli spazi topologici. Del resto questo non sorprende: la teoria degli spazi topologici non è algebrica.
Alla luce di ciò ci sono due domande interessanti e ancora aperte:
1. La categoria degli spazi di Hausdorff compatti è monadica su \( \bf Set \): ciò vuol dire che le algebre per la monade degli ultrafiltri sono tutti e soli gli spazi T2 compatti. Ma chi sono in questa categoria gli oggetti proiettivi? E chi sono le algebre libere? E' sempre vero che le seconde sono contenute nei primi?
2. Sostituire omeomorfo a "omotopicamente equivalente" nella domanda in OP[/quote]
Di questa non ci ho capito molto....
Una proprietà del genere penso di averla trovata, ma non è sufficiente, serve anche che $RR$ ce l'abbia!!!
La proprietà a cui ho pensato io (ma non sono sicurissimo che vada bene) è la totale sconnessione, quindi se al posto di $RR$ ci fosse $QQ$, l'esercizio sarebbe facile.
I commenti successivi non li ho capiti, quindi è inutile che risponda, scusate se è venuto un messaggio così lungo ma dovevo rispondere a tanti messaggi.
"killing_buddha":
Quello che fa fallire l'esercizio è che su \( \mathbb{R}^\mathbb{R} \) ci sono tante metriche inequivalenti, e dunque un sacco di topologie molto più selvagge dell'euclidea; quale topologia vuoi considerare su \( \mathbb{R}^\mathbb{R} \) dipende fortemente da ciò che vuoi fare con questo spazio: se vuoi che sia un mero spazio topologico compattamente generato, è naturale considerare su \( \mathbb{R}^\mathbb{R} \) la topologia che ha come prebase i sottoinsiemi del tipo \( [K,U]=\{f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f(K)\subseteq U\} \), se $ K $ è compatto e $ U $ aperto in $ \mathbb R $. Se vuoi considerarlo come una varietà (di dimensione infinita), è naturale considerare la topologia euclidea del prodotto \( \prod_{\lambda\in\mathbb R}\mathbb R \). Se vuoi considerarlo come uno spazio vettoriale topologico, ci sono millanta definizioni possibili per una topologia indotta da una famiglia di seminorme, per esempio dedotte da una qualche applicazione bilineare \( \Xi : \mathbb{R}^\mathbb{R} \times (\mathbb{R}^\mathbb{R})^\lor \to \mathbb R \).
Insomma, dì che topologia vuoi sullo spazio delle funzioni da R in R e forse si può rispondere; prima, no.
Pensavo che fosse ovvio, ma forse certe cose meglio non sottintenderle, nei prodotti di $RR$ ci metto la topologia prodotto, nei sottospazi la topologia del sottospazio e nei quozienti la topologia quoziente.
"Martino":
Penso che intenda la topologia prodotto.
Esatto.
"dan95":
Mica per forza esiste uno spazio del genere... La cosa mi fa pensare molto ai moduli che sono sempre quoziente di un qualche modulo libero.
L'esercizio può essere pure questo:
"Sia $ T $ uno spazio topologico e $ P=\prod_{i \in I} \mathbb{R} $ , dove $ I $ è un insieme infinito. Allora esiste un sottospazio $ U $ di $ P $ tale che $ T $ è omeomorfo ad un quoziente di $ U $.
Infatti non è detto che esista, ma allora l'esercizio può considerarsi risolto dimostrando che non esistono spazi di questo tipo.
La tua riformulazione del problema mi piace, però specificherei che prima si fissa $T$, poi si chiede che esista un $I$ con la proprietà che hai detto tu, sennò come ha fatto notare killing_buddha basta prendere uno spazio in biezione con $2^P$ per trovare un controesempio.
"killing_buddha":
[quote="dan95"]Mica perforza esiste uno spazio del genere... La cosa mi fa pensare molto ai moduli che sono sempre quoziente di un qualche modulo libero.
L'esercizio può essere pure questo:
"Sia $ T $ uno spazio topologico e $ P=\prod_{i \in I} \mathbb{R} $ , dove $ I $ è un insieme infinito. Allora esiste un sottospazio $ U $ di $ P $ tale che $ T $ è omeomorfo ad un quoziente di $ U $.
No, detto così è falso: dato \( U\subseteq P \) in queste notazioni, ogni quoziente di $ U $ ha al più la cardinalità di $ P $ (perché la proiezione al quoziente è un epimorfismo in \( \bf Set \)). Ora, basta prendere l'insieme \( 2^P \) per concludere che non ci sono omeomorfismi \( 2^P \cong T \) semplicemente perché non ci sono biiezioni.
Ora, venendo alla risposta vera e propria, io diffiderei dell'esistenza di questo "spazio universale", e c'è una ragione formale per dirlo: i teoremi del tipo "ogni oggetto di una categoria \( \mathcal X \) è quoziente di un libero della forma $ FA $, per $ A $ insieme" si basano sul fatto che per \( \mathcal X \) sono vere le due seguenti cose:
1. \( \mathcal X \) è monadica su \( \bf Set \)
2. l'immagine essenziale dell'aggiunto sinistro a \( \mathcal{U} \colon \mathcal X \to \bf Set \) è un generatore di \( \mathcal X \) (come conseguenza della definizione, infatti, ogni oggetto \( X\in\mathcal X \) si "presenta" in un coequalizzatore
\[ FR \rightrightarrows FG \to X \] dove $ R,G $ sono rispettivamente insiemi di Relazioni tra Generatori di $ X $; ciò accade in tutte le categorie di varietà di algebre, che sono appunto monadiche su Set e tali che i liberi siano tutti oggetti proiettivi.
In \( \bf Top \) questo non succede, perché l'aggiunzione \( ind \dashv \mathcal U \dashv disc \) dove "ind" dà a un insieme $ A $ la topologia banale \( \{\varnothing, A\} \), e "disc" quella discreta $ 2^A $ non dà luogo a monadi le cui algebre siano tutti gli spazi topologici. Del resto questo non sorprende: la teoria degli spazi topologici non è algebrica.
Alla luce di ciò ci sono due domande interessanti e ancora aperte:
1. La categoria degli spazi di Hausdorff compatti è monadica su \( \bf Set \): ciò vuol dire che le algebre per la monade degli ultrafiltri sono tutti e soli gli spazi T2 compatti. Ma chi sono in questa categoria gli oggetti proiettivi? E chi sono le algebre libere? E' sempre vero che le seconde sono contenute nei primi?
2. Sostituire omeomorfo a "omotopicamente equivalente" nella domanda in OP
[/quote]Di questa non ci ho capito molto....
"Martino":
Secondo me quello che si sta chiedendo è questo: esiste una proprietà topologica preservata dalle operazioni di sottospazio, proiezione al quoziente (immagine continua aperta) e prodotto cartesiano arbitrario? Ripassando velocemente le proprietà note non ne ho trovata una così. Per esempio Hausdorff passa ai sottospazi e ai prodotti ma non alle immagini continue, per esempio la compattezza passa ai prodotti e alle immagini continue ma non ai sottospazi.
Una versione che mi verrebbe da proporre è: esiste uno spazio topologico $ X $ tale che per ogni spazio topologico $ Y $ esiste un insieme $ I $ tale che $ Y $ è omeomorfo a un quoziente di un sottospazio di $ X^I $? (dove $ X^I $ ha la topologia prodotto).
Una versione categoriale (anche se probabilmente non del tutto equivalente a quella proposta) sarebbe questa: la categoria degli spazi topologici ammette oggetti liberi?
Una proprietà del genere penso di averla trovata, ma non è sufficiente, serve anche che $RR$ ce l'abbia!!!
La proprietà a cui ho pensato io (ma non sono sicurissimo che vada bene) è la totale sconnessione, quindi se al posto di $RR$ ci fosse $QQ$, l'esercizio sarebbe facile.
I commenti successivi non li ho capiti, quindi è inutile che risponda, scusate se è venuto un messaggio così lungo ma dovevo rispondere a tanti messaggi.
Di questa non ci ho capito molto....
Appena ho un attimo provo a mettere degli hyperlink a delle pagine con le definizioni.
Una proprietà del genere penso di averla trovata, ma non è sufficiente, serve anche che R ce l'abbia!!!
Cos'ha di speciale $\mathbb R$? E per quale motivo $\mathbb Q$ è totalmente sconnesso? Ci sono anche topologie per cui non lo è (e la topologia che consideri è un dato del problema).
La mia impressione è che lo spazio fantomatico non esista: più nello specifico, la mia impressione è che non esista per mere ragioni di cardinalità.
Io intendevo $RR$ e $QQ$ con le topologie standard, quella euclidea su $RR$ e quella indotta su $QQ$.
In che senso ragioni di cardinalità?
In che senso ragioni di cardinalità?
Avere la stesse cardinalità è una condizione necessaria affinché esista una qualche biiezione fra due insiemi
Ovvio, ma ci sono delle cardinalità che si possono escludere a priori?
No, per come la vedo io la questione della cardinalità non risolve niente. Il problema è ancora aperto.
Il problema è: se $X$ è uno spazio topologico qualsiasi è vero che $X$ è omeomorfo a un quoziente di un sottospazio di $RR^I$ dove $I$ è un insieme opportuno?
Chiaro che $I$ dipenderà da $X$.
PS. Che $QQ$ sia totalmente disconnesso mi sembra chiaro.
Il problema è: se $X$ è uno spazio topologico qualsiasi è vero che $X$ è omeomorfo a un quoziente di un sottospazio di $RR^I$ dove $I$ è un insieme opportuno?
Chiaro che $I$ dipenderà da $X$.
PS. Che $QQ$ sia totalmente disconnesso mi sembra chiaro.
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