Trovare segmento in base a descrizione

[Quinzio]

Voi riuscite a capire di cosa si parla ?
"Determinare l'eq. differenziale della curva determinata dalla seguente condizione:
- Il segmento che congiunge il punto $P(x,y)$ con l'intersezione della normale in $P$ con l'asse delle $x$ è bisecato dall'asse $y$.
(Frank Ayres Jr. -- Equazioni differenziali . McGraw-Hill p.5)

Questo segmento va da dove a dove ?
Es. P(3,4), qual è il segmento ?

[Studente Anonimo]

Prendi un generico punto [tex]P=(x(t),y(t))[/tex] della tua curva, trovi un vettore normale a tale punto, chiamiamolo [tex]v_P[/tex], e trovi [tex]\lambda_1[/tex] e [tex]\lambda_2[/tex] tali che [tex]P+\lambda_1 v_P[/tex] appartenga all'asse X e [tex]P+\lambda_2 v_P[/tex] appartenga all'asse Y. A questo punto la condizione diventa la seguente: il punto medio del segmento che congiunge [tex]P[/tex] con [tex]P+\lambda_1 v_P[/tex] dev'essere [tex]P+\lambda_2 v_P[/tex], in altre parole

[tex]\frac{1}{2}[P+(P+\lambda_1 v_P)] = P+\lambda_2 v_P[/tex],

cioè

[tex]\lambda_1 = 2 \lambda_2[/tex].

Questa risulta essere la tua equazione differenziale, devi solo esplicitare [tex]v_P[/tex], [tex]\lambda_1[/tex] e [tex]\lambda_2[/tex] (che naturalmente saranno funzioni delle derivate di [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex]).

PS. Per favore metti un titolo che specifichi l'argomento (clicca su "Modifica" nel tuo intervento). Grazie.

[Quinzio]

Ok grazie, quello che non capivo era la normale ... normale a cosa ???
La risposta è normale alla tangente della curva nel punto $P$.
Io credo che il testo del problema sia un po' ostico da capire. Scrivere qualche riga in più di testo non fa male. Si tratta di un problema matematico, non di un'indovinello edipico.

Comunque, la soluzione è $yy^{\prime}+2x = 0$