Trovare piano osculatore
Ciao a tutti,
vorrei essere certo della correttezza (del procedimento) del seguente esercizio.
Sol.:
Per definizione il piano osculatore è quel piano passante per $\sigma(s)$ e parallelo al piano generato dai vettori $\mathcal(t), \mathcal(n)$, che sono rispettivamente il versore tangente e quello normale.
Ho quindi pensato di ricavarmi questi due usando la formula $\mathcal(t)=(\sigma'(t)) / ||\sigma(t)||$ e $\mathcal(n)=(\sigma''(t)) / ||\sigma''(t)||$, ma i calcoli diventano alquanto antipatici. Una volta ottenuti questi avrei avuto i due vettori e il loro prodotto vettoriale mi da un vettore normale $vec(N)$ a questi : quindi ricaverei il piano imponendo $\langle ((x-x_0),(y-y_0),(z-z_0));((N_1),(N_2),(N_3)) \rangle=0$.
Poi però ho notato che per definizione il prodotto vettoriale tra $\mathcal(t)$ e $\mathcal(n)$ è il versore binormale $\mathcal(b)$, quindi senza fare tutto il procedimento illustrato nelle righe precedenti ho calcolato direttamente il versore binormale usando la definizione: $\mathcal(b)=(\sigma'(t) \wedge \sigma''(t))/(||\sigma'(t) \wedge \sigma''(t)||)$.
Da cui $\mathcal(b(0))=((-1/sqrt(2)),(0),(1/sqrt(2)))$.
Perciò mi risulta che $x-z=0$ è il piano osculatore alla curva $\sigma$ passante per l'origine.
E' corretto? Soprattutto il procedimento mi interessa. Per calcolare il piano osculatore in sostanza posso semplicemente calcolare il versore binormale e poi trovare l'equazione del piano al solito modo ?
Grazie
vorrei essere certo della correttezza (del procedimento) del seguente esercizio.
Sia $\sigma: RR \rarr RR^3$, $\sigma(t)=(t,t^2,sin(t))$. Determinare il piano osculatore di $\sigma$ nell'origine.
Sol.:
Per definizione il piano osculatore è quel piano passante per $\sigma(s)$ e parallelo al piano generato dai vettori $\mathcal(t), \mathcal(n)$, che sono rispettivamente il versore tangente e quello normale.
Ho quindi pensato di ricavarmi questi due usando la formula $\mathcal(t)=(\sigma'(t)) / ||\sigma(t)||$ e $\mathcal(n)=(\sigma''(t)) / ||\sigma''(t)||$, ma i calcoli diventano alquanto antipatici. Una volta ottenuti questi avrei avuto i due vettori e il loro prodotto vettoriale mi da un vettore normale $vec(N)$ a questi : quindi ricaverei il piano imponendo $\langle ((x-x_0),(y-y_0),(z-z_0));((N_1),(N_2),(N_3)) \rangle=0$.
Poi però ho notato che per definizione il prodotto vettoriale tra $\mathcal(t)$ e $\mathcal(n)$ è il versore binormale $\mathcal(b)$, quindi senza fare tutto il procedimento illustrato nelle righe precedenti ho calcolato direttamente il versore binormale usando la definizione: $\mathcal(b)=(\sigma'(t) \wedge \sigma''(t))/(||\sigma'(t) \wedge \sigma''(t)||)$.
Da cui $\mathcal(b(0))=((-1/sqrt(2)),(0),(1/sqrt(2)))$.
Perciò mi risulta che $x-z=0$ è il piano osculatore alla curva $\sigma$ passante per l'origine.
E' corretto? Soprattutto il procedimento mi interessa. Per calcolare il piano osculatore in sostanza posso semplicemente calcolare il versore binormale e poi trovare l'equazione del piano al solito modo ?
Grazie
Risposte
In generale se tu hai un piano di equazione $ax+by+cz+d=0$ allora $(a,b,c)$ è il vettore normale al piano.
Analogamente se conosci il vettore normale al piano puoi trovare i coefficienti $(a,b,c)$. Quindi dato che il vettore binormale è normale al piano osculatore allora secondo me è giusto.
E a prima vista, per risparmiare conti, potresti addirittura calcolare soltanto il vettore $w=sigma'(t)wedgesigma''(t)$ tanto differisce di una costante dal vettore $b$.
La formula per calcolare il versore normale $n$ comunque è sbagliata, quella funziona soltanto quando $sigma(t)$ è parametrizzata con l'ascissa curvilinea
Queste sono mie osservazioni, ma prendile con le pinze e approfondisci di tuo la veridicità, non ricordo tanto le curve
Analogamente se conosci il vettore normale al piano puoi trovare i coefficienti $(a,b,c)$. Quindi dato che il vettore binormale è normale al piano osculatore allora secondo me è giusto.
E a prima vista, per risparmiare conti, potresti addirittura calcolare soltanto il vettore $w=sigma'(t)wedgesigma''(t)$ tanto differisce di una costante dal vettore $b$.
La formula per calcolare il versore normale $n$ comunque è sbagliata, quella funziona soltanto quando $sigma(t)$ è parametrizzata con l'ascissa curvilinea
Queste sono mie osservazioni, ma prendile con le pinze e approfondisci di tuo la veridicità, non ricordo tanto le curve
Certo mi ero dimenticato di dire che stavo immaginando che la parametrizzazione era quella rispetto alla lunghezza d'arco 
grazie
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