Trovare nucleo dato un endomorfismo

[login2]

Dato l'endomorfismo in $R^3$
$f(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y,5y-2z)$

Trovare $Imf$ e $kerf$

Per trovare $Imf$ procedo così : $(x-2y+z,2x+y,5y-2z)=x(1,2,0)+y(-2,1,5)+z(1;0,-2)$
I tre vettore messi in evidenza (1,2,0);(-1,1;5);(1,0,-2) sono linearmente dipendenti per cui prendo i primi due che sono linearmente indipendenti:

$Imf=<(1,2,0);(-1,1;5)>$ con dimensione 2

Per il teorema $dimImf+dimKerf=dimR^3$ il nucelo deve avere dimesnione 1

Essendo il nucelo l'insieme di vettori la cui immagine è il vettore nullo mi verrebbe in mente di mettere a sistema le componenti dell'immagine generica..però non so se è giusto?

x-2y+z=0
2x+y=0
5y-2z=0

Questo potrebbe essere un metodo generale?

E quando capita di avere soltanto la matrice associata all'endomorfismo?

[losangeles-lakers]

Esatto metti a sistema una volta trovate le soluzioni in funzioni di un parametro t appartenente ad R quello é il tuo Ker f una sua base sarà la messa in evidenza della variabile e ti verra di dim 1 proprio come il teorema da te illustrato sopra

[login2]

E se io avessi soltanto le equazioni matriciali dell'endomorfismo?
Mi spiego meglio
Ammettiamo di esserci ricavati in qualche modo la matrice associata a un dato endmorfimso in $R^3$ ( senza conoscerne direttamente la forma $f(x,y,z)=(........)$)

La matrice associata è numerica, come si potrebbe trovare il nucelo?

[losangeles-lakers]

Allora tu non puoi ricavarti in nessun modo la matrice associata se non conosci la legge dell'omomorfismo o dell'endomorfismo.... Negli esercizi di questo tipo ti verrà sempre data la matrice.... Ora ti faccio un esempio in moto tale che tu possa capire:
Abbiamo un omomorfismo che va da R3 ---->R2
Data la matrice A=
1..2..0
3..1..1
E le basi B=[(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)] e B'[(0,2),(-1,1)] Ricorda nel caso non ti vengono date le basi puoi semplicemente fissarle tu scegliendo quelle canoniche.
Determinare f(1,0-1)
Ora come prima cosa da fare è trovare la funzione della base di R3 data dall'esercizio cioè lo spazio di partenza poichè vogliamo sapere la funzione di f(1,0-1) appartenente ad R3! La funzione della base di R3 sarà data dalle componenti delle colonne della matrice rispetto ai nostri elementi di R3 :
f(1,0,0)=1(0,2)+3(-1,1)=(-3,5)
f(1,1,0)=2(0,2)+1(-1,1)=(-1,5)
f(1,1,1)=0(0,2)+1(-1,1)=(-1,1)
Ora ottenute le f della base di R3 dobbiamo trovarci le componenti della comb. lin. di f(1,0,-1) rispetto alla base di R3 cioè:
(1,0,-1)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1) Risolvi il sistema e trovi che a=1, b=1 , c= -1
ora le componenti trovate dovranno essere comb. lin. delle trasformate di B, in modo da ottenere la trasformata di f(1,0,-1)
1(3,5)+1(-1,5)-1(-1,1)=(-3,9) <---- Questa è la trasformata di f senza sapere la legge!!!
f(1,0,-1)----->(-3,9)
Poichè il rango di A è 2 e lo spazio di partenza è 3 per:
dimImf+dimKerf=dimR3 il Kerf ha dim 1 cioè è proprio (-3,9)
Sperò di esserti stato di aiuto