Trovare matrice diagonale associata ad un endomorfismo
Buonasera,
ho questo tipo di esercizio riesco a stabilire che la matrice è diagonale ma non una matrice diagonale di fh
Si consideri l’endomorfismo Fh di R^3 , dipendente dal parametro reale h, dato da : Fh (x, y,z) = (x + y + z, hy, x + z).
Determinare i valori di h tali che Fh sia diagonalizzabile ed esibire, nei casi di diagonalizzabilità,una matrice diagonale rappresentativa di Fh.
allora riesco a trovare i valori di h per la quale l' endomorfismo è diagonalizzabile h diverso da 0 e 2 ma come matrice diagonale rappresentativa mi viene data \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & h
\end{pmatrix}
e non capisco come fa, perchè ricavo i sottospazio degli autovettori che mi trovo facendo il polinomio caratteristico,trovo delle loro basi, ma non riesco a capire perchè facendo l' endomorfismo rispetto al riferimento che è formato dalle basi dei vari autospazi vettori non riesco ad avere quella matrice.
Grazie mille
ho questo tipo di esercizio riesco a stabilire che la matrice è diagonale ma non una matrice diagonale di fh
Si consideri l’endomorfismo Fh di R^3 , dipendente dal parametro reale h, dato da : Fh (x, y,z) = (x + y + z, hy, x + z).
Determinare i valori di h tali che Fh sia diagonalizzabile ed esibire, nei casi di diagonalizzabilità,una matrice diagonale rappresentativa di Fh.
allora riesco a trovare i valori di h per la quale l' endomorfismo è diagonalizzabile h diverso da 0 e 2 ma come matrice diagonale rappresentativa mi viene data \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & h
\end{pmatrix}
e non capisco come fa, perchè ricavo i sottospazio degli autovettori che mi trovo facendo il polinomio caratteristico,trovo delle loro basi, ma non riesco a capire perchè facendo l' endomorfismo rispetto al riferimento che è formato dalle basi dei vari autospazi vettori non riesco ad avere quella matrice.
Grazie mille
Risposte
Ciao.
Gli autovalori di tale endomorfismo sono h, 0 e 2 e quindi sicuramente se:
$h\ne 0,2$, allora ci sono tre autovalori distinti e quindi poiché la molteplicità geometrica è sempre minore della molteplicità algebrica allora hai necessariamente che la dimensione degli autospazi associati agli autovalori hanno tutti dimensione 1 (poiché la molteplicità algebrica dei tuoi autovalori è 1). Di conseguenza la matrice è diagonalizzabile e con un po' di conti riesci a trovare che gli autospazi sono:
\( V_0=<(-1,0,1)>\quad V_2=<(1,0,1)> \quad V_h=<(h-1,h^2-2h,1)> \)
Consideri la matrice composta dalle basi degli autospazi messi in colonna (attenzione all'ordine se vuoi farti venire proprio quella matrice diagonale da te indicata. Prima metti l'autovettore associato a 0 poi quello associato a 2 e infine quello associato ad h).
\( P=\begin{pmatrix} -1 & 1 & h-1 \\ 0 & 0 & h^2-2h \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Prendi l'inversa di P
\( P^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2h} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2(h-2)} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2h-h^2} & 0 \end{pmatrix} \)
E facendo un piccolo conto puoi far vedere che $P^{-1}AP=D$ dove
\( D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix} \) è la matrice diagonale che cercavi e
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & h & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) è la matrice associata all'endomorfismo iniziale.
Quindi in questo modo hai trovato due matrici invertibili che diagonalizzano la matrice associata all'endomorfismo iniziale.
Rimangono da verificare i casi in cui $h=0$ e $h=2$, ma facilmente si può ottenere che in
- $h=0$ la molteplicità algebrica di $\lambda=0$ è 2 mentre quella geometrica è 1.
- $h=2$ la molteplicità algebrica di $\lambda=2$ è 2 mentre quella geometrica è 1
Quindi in tali casi l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
Gli autovalori di tale endomorfismo sono h, 0 e 2 e quindi sicuramente se:
$h\ne 0,2$, allora ci sono tre autovalori distinti e quindi poiché la molteplicità geometrica è sempre minore della molteplicità algebrica allora hai necessariamente che la dimensione degli autospazi associati agli autovalori hanno tutti dimensione 1 (poiché la molteplicità algebrica dei tuoi autovalori è 1). Di conseguenza la matrice è diagonalizzabile e con un po' di conti riesci a trovare che gli autospazi sono:
\( V_0=<(-1,0,1)>\quad V_2=<(1,0,1)> \quad V_h=<(h-1,h^2-2h,1)> \)
Consideri la matrice composta dalle basi degli autospazi messi in colonna (attenzione all'ordine se vuoi farti venire proprio quella matrice diagonale da te indicata. Prima metti l'autovettore associato a 0 poi quello associato a 2 e infine quello associato ad h).
\( P=\begin{pmatrix} -1 & 1 & h-1 \\ 0 & 0 & h^2-2h \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Prendi l'inversa di P
\( P^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2h} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2(h-2)} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2h-h^2} & 0 \end{pmatrix} \)
E facendo un piccolo conto puoi far vedere che $P^{-1}AP=D$ dove
\( D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix} \) è la matrice diagonale che cercavi e
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & h & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) è la matrice associata all'endomorfismo iniziale.
Quindi in questo modo hai trovato due matrici invertibili che diagonalizzano la matrice associata all'endomorfismo iniziale.
Rimangono da verificare i casi in cui $h=0$ e $h=2$, ma facilmente si può ottenere che in
- $h=0$ la molteplicità algebrica di $\lambda=0$ è 2 mentre quella geometrica è 1.
- $h=2$ la molteplicità algebrica di $\lambda=2$ è 2 mentre quella geometrica è 1
Quindi in tali casi l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
Grazie mille, scusa convinto che ti avevo mandato la risposta
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