Trovare l'equazione di una parabola
Buonasera,
ho un esercizio d'esame le cui soluzioni non coincidono con quelle date dal professore, l'ho provato a fare e rifare,m risulta sempre uguale.
Il testo è questo: Determinare lequazione della parabola $\gamma$ avente per asse la retta di equazione $a:x - y = 0$, con il vertice nell'origine e passante per il punto $P (0; 2a) (a \ne0)$
Inizio costruendo il fascio di coniche e notando che la parabola $\gamma$ passa anche per il simmetrico lungo $a$ di $P$.
Chiamo $P'$ il suo simmetrico, ossia $P'(2A,0)$
Inoltre noto anche che la retta perpendicolare all'asse e passante per il vertice è la retta tangente alla conica nel punto $V=(0,0)$. A questo punto costruisco il fascio di coniche (si tratta di una fascio di coniche tangenti).
L'equazione del fascio è:
$F: (x+y-2a)(x+y)+\lambda(xy)=0$
riscritto meglio;
$F: x^2 + (2+\lambda)xy+y^2-2ax-2ay=0$
Da qui poi studio il fascio e trovo i valori di $\lambda$ per cui ci sono parabole.
L'unica cosa che non combacia con le soluzione date dal professore è che il fascio di coniche viene da lui scritto così:
$F:(x+y-2a)(x+y)+2\lambda(xy)=0$
Mi potreste spiegare da dove è apparso quel $2\lambda$??
La soluzione che ho proposto potrebbe essere giusta?
Grazie in anticipo
ho un esercizio d'esame le cui soluzioni non coincidono con quelle date dal professore, l'ho provato a fare e rifare,m risulta sempre uguale.
Il testo è questo: Determinare lequazione della parabola $\gamma$ avente per asse la retta di equazione $a:x - y = 0$, con il vertice nell'origine e passante per il punto $P (0; 2a) (a \ne0)$
Inizio costruendo il fascio di coniche e notando che la parabola $\gamma$ passa anche per il simmetrico lungo $a$ di $P$.
Chiamo $P'$ il suo simmetrico, ossia $P'(2A,0)$
Inoltre noto anche che la retta perpendicolare all'asse e passante per il vertice è la retta tangente alla conica nel punto $V=(0,0)$. A questo punto costruisco il fascio di coniche (si tratta di una fascio di coniche tangenti).
L'equazione del fascio è:
$F: (x+y-2a)(x+y)+\lambda(xy)=0$
riscritto meglio;
$F: x^2 + (2+\lambda)xy+y^2-2ax-2ay=0$
Da qui poi studio il fascio e trovo i valori di $\lambda$ per cui ci sono parabole.
L'unica cosa che non combacia con le soluzione date dal professore è che il fascio di coniche viene da lui scritto così:
$F:(x+y-2a)(x+y)+2\lambda(xy)=0$
Mi potreste spiegare da dove è apparso quel $2\lambda$??
La soluzione che ho proposto potrebbe essere giusta?
Grazie in anticipo
Risposte
$lambda$ o $2 lambda$ non fa differenza. Alla fine le parabole richieste sono sempre le stesse:
$P_1: (x+y-2a)(x+y)=0$ (parabola degenere che si spezza in due rette distinte e parallele)
$P_2: (x-y)^2-2a(x+y)=0$
$P_1: (x+y-2a)(x+y)=0$ (parabola degenere che si spezza in due rette distinte e parallele)
$P_2: (x-y)^2-2a(x+y)=0$
Ok grazie, non riuscivo proprio a capire questa cosa 
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