Trovare le equazioni cartesiane che descrivono il sottospazio (dalle basi)
Mi trovo incastrato in un esercizio da cui non riesco proprio ad uscirne perché mi manca la metodologia con cui procedere.
In sostanza ho uno spazio di cui ho trovato una base: ${(1,2,0,-1),(0,2,-3,1)}$
Il professore ha detto che le equazioni sono facili da trovare, si tratta di equazioni parametriche del tipo:
-$x=s+0t$
-$y=2s+st$
-$z=-3+0t$
-$w=-s+t$
A sistema (dovete scusarmi ma non so scrivere la graffa)
Io però non capisco proprio con che logica le abbia ottenute, mi potreste dare il tracciato logico e operativo sul come giungere a quelle? Ne ho davvero tanto bisogno perché non riesco a districarmi sul come ottenerle. Mi sembra abbia messo due parametri s e t perché ho due vettori indipendenti (dimensione 2 dello spazio) ma funziona sempre così ma soprattutto perché funziona (mi piace capire le cose e non svolgere solo l'esercizio)?
Grazie come sempre per il vostro notevole aiuto!
Buona serata ragazzi.
In sostanza ho uno spazio di cui ho trovato una base: ${(1,2,0,-1),(0,2,-3,1)}$
Il professore ha detto che le equazioni sono facili da trovare, si tratta di equazioni parametriche del tipo:
-$x=s+0t$
-$y=2s+st$
-$z=-3+0t$
-$w=-s+t$
A sistema (dovete scusarmi ma non so scrivere la graffa)
Io però non capisco proprio con che logica le abbia ottenute, mi potreste dare il tracciato logico e operativo sul come giungere a quelle? Ne ho davvero tanto bisogno perché non riesco a districarmi sul come ottenerle. Mi sembra abbia messo due parametri s e t perché ho due vettori indipendenti (dimensione 2 dello spazio) ma funziona sempre così ma soprattutto perché funziona (mi piace capire le cose e non svolgere solo l'esercizio)?
Grazie come sempre per il vostro notevole aiuto!
Buona serata ragazzi.
Risposte
Essendo $ {(1,2,0,-1),(0,2,-3,1)}$ una base di $V$, ciò significa che $dim(V)=2$.
Siccome si cerca un'equazione cartesiana di $V sub RR^4$, si deve ottenere un sistema lineare omogeneo di $4$ incognite e, affinché il sistema abbia $oo^2$ soluzioni, di $2$ righe.
Quindi considerando la matrice seguente
la si ridcue e si considerano le ultime due righe della terza colonna.
Siccome si cerca un'equazione cartesiana di $V sub RR^4$, si deve ottenere un sistema lineare omogeneo di $4$ incognite e, affinché il sistema abbia $oo^2$ soluzioni, di $2$ righe.
Quindi considerando la matrice seguente
$( ( 1 , 0 , x ),( 2 , 2 , y ),( 0 , -3 , z ),( -1 , 1, t ) )$
la si ridcue e si considerano le ultime due righe della terza colonna.
Grazie Magma, chiaro come sempre 
La logica ora l'ho capita, mi manca il capire perché operativamente torni svolgendo quella matrice e uguagliando a 0 le ultime due righe nei valori della colonna delle incognite.
Non ho capito il perché funzioni..
In sostanza perché manipolando con gauss mi ritrovo proprio le x,y,z,t combinate da darmi l'equazione cartesiana del mio spazio?
La logica ora l'ho capita, mi manca il capire perché operativamente torni svolgendo quella matrice e uguagliando a 0 le ultime due righe nei valori della colonna delle incognite.
Non ho capito il perché funzioni..
In sostanza perché manipolando con gauss mi ritrovo proprio le x,y,z,t combinate da darmi l'equazione cartesiana del mio spazio?
Perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio. Inoltre ti serve non solo un sottospazio di dimensione $2$ (ne esistono un'infinità) ma uno che abbia determinate caratteristiche; per esempio che i vettori della base siano contenuti in tale sottospazio.
Grazie 
Chiarissimo!
Chiarissimo!
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