Trovare la relazione fra autovalori di due matrici

[raker]

Ho due matrici quadrate \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) (n=4)

\(\displaystyle A=\begin{bmatrix} 0&0&0&1 \\ 0&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}\)

\(\displaystyle B=\begin{bmatrix} 1&0&0&1 \\ 0&1&1&0 \\ 0&1&1&0 \\ 1&0&0&1 \end{bmatrix}\)

Senza costruire i polinomi caratteristici di \( A \) e di \( B\) dire che relazione c'è tra gli autovalori di \( A \) e di \( B\).

Io l'ho risolto ovviamente costruendo i polinomi caratteristici e ho tirato fuori la relazione (confermata dalla soluzione):

\(\lambda _b = \lambda _a +1 \)

Se dovessi farlo come dice l'esercizio? non ho idea di come potrei ricavare tale formula... dopo infatti chiede di generalizzare sul caso n pari qualsiasi, che ovviamente non saprei forumlare.

[vict85]

La matrice \(\displaystyle A \) è ortogonale di determinante positivo (è una matrice di permutazione di segno pari). Ha due autovettori associati a \(\displaystyle -1 \) \(\displaystyle (0,1,-1,0) \) e \(\displaystyle (1,0,0,-1) \) e due a \(\displaystyle +1 \) \(\displaystyle (0,1,1,0) \) e \(\displaystyle (1,0,0,1) \) che quindi forniscono una base di tutto lo spazio.

Il secondo ha senza dubbio determinante uguale a 0 e rango 2. Rimane da far vedere che il restante autovalore è 2. Ma è facile considerando gli autovettori \(\displaystyle (1,1,1,1) \) e \(\displaystyle (1,-1,-1,1) \)

[vict85]

Ripensandoci mi sa che il professore/libro volevano la seguente dimostrazione

\(\displaystyle B = A + I \)

perciò

\begin{align} B\mathbf{x} &= \lambda\mathbf{x} \\
(A+I)\mathbf{x} &= \lambda\mathbf{x} \\
A\mathbf{x} &= (\lambda-1)\mathbf{x} \\
\end{align}

[raker]

Sono scioccato dalla semplicità della risposta che tra l'altro prendendo spunto da questa mi sta risolvendo altre piccole dimostrazioni simili che non riuscivo a fare! grazie