Trovare la matrice associata,ker e im
salve a tutti sono sempre io,con un altro poblema
sia $f : RR^3 \rightarrow RR^3$ l'endomorfismo definito da
$f(1,1,1)=(2,-2b-2,2), f(1,-1,0)=(1,0,2), f(0,0,-a-1)=(1,-b-1,1)$
a)Si trovi la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B=(1,1,1),(1,-1,0),(0,0,-a-1)
b)Si trovi una base per $ker f$ ed una per $im f$
anche qui non so proprio come partire,quindi devo chiedervi aiuto
sia $f : RR^3 \rightarrow RR^3$ l'endomorfismo definito da
$f(1,1,1)=(2,-2b-2,2), f(1,-1,0)=(1,0,2), f(0,0,-a-1)=(1,-b-1,1)$
a)Si trovi la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B=(1,1,1),(1,-1,0),(0,0,-a-1)
b)Si trovi una base per $ker f$ ed una per $im f$
anche qui non so proprio come partire,quindi devo chiedervi aiuto
Risposte
Per la matrice associata: sai già quali sono le coordinate (alla base canonica) delle
immagini dei vettori di $B$_ devi considerare il cambiamento
di base, dalla canonica a $B$.
immagini dei vettori di $B$_ devi considerare il cambiamento
di base, dalla canonica a $B$.
quindi in pratica il calcolo com'è?
ps:vado meglio ad esempi
ps:vado meglio ad esempi
$M_fB=((1,1,0),(1,-1,0),(1,0,-a-1))^(-1)((2,1,1),(-2b-2,0,-b-1),(2,2,1))$
grazie mille 
ora mi manca solo la parte b)
ora mi manca solo la parte b)
http://dma.ing.uniroma1.it/users/m_geom1_c1/index.html
Con questo link vai in una pagina della mia Università dove trovi esercizi, e gli esami di passate sessioni con
le soluzioni RAGIONATE.
Io ho fatto così: studiavo le teoria e provavo a svolgere quegli esami.
Per le domande che hai fatto trovi nelle soluzioni le risposte.
Ti troverai bene se parti da una base teorica, e poi
vedi come si opera.
Per esempio: il nucleo della funzione lineare è l'insieme dei vettori la cui immagine è il vettore nullo.
Come si può trovarne una base?
(Intanto: esso è un sottospazio vettoriale).
Vedrai che si fa così: indichi come $(x_1,x_2,...,x_n)$ le coordinate ad una base $B'$ del generico vettore $\vec v\in ker$;
Hai che: $M_(fB')((x_1),(.),(.),(.),(x_n)) = \vec0$, dove $M_(fB')$ è la matrice associata all'operatore lineare rispetto a $B'$.
Hai perciò un sistema lineare omogeneo. Lo spazio delle soluzioni è il nucleo di $f$.
Nel caso che hai proposto:
abbiamo la matrice associata a $B$. Otteniamo la matrice associata alla base canonica (ma perchè dovremmo? per
poi avere le coordinate alla base canonica, ovvero: se operi in $RR^n$, le componenti stesse dei vettori, delle
basi di $kerf$ed $Imf$.).
E come operare?
...
Come vedi ad ogni passo devi richiamare una nozione teorica.
La matrice associata ad una base in un endomorfismo è....la matrice
che ammette come sue colonne le coordinate rispetto a quella base delle immagini dei vettori della base secondo l'endomorfismo.
$M_(B) A^(-1)$, dove $A^(-1)$ è la matrice che prima avevamo moltiplicato a sinistra,
ti dà le immagini rispetto alla base$B$ dei vettori della base canonica.
Poi cambi di base...moltiplicando a sin.il risultato per $A$... .
Avendo capito ciò, puoi abbreviare l'intero corso, poichè la matrice $M_(fB_c)$ che cerchi, l'associata ad $f$ rispetto alla b.canonica, è:
$M_(fB_c) = A(M_(fb)A^(-1))$
ed $M_(fb) = A^(-1)C$; allora
$M_(fB_c) = A(M_(fb)A^(-1)) =A((A^(-1)C)A^(-1)) =CA^(-1)$.
E poi, dunque, imposti il sitema omogeneo; trovi
lo spazio delle soluzioni, che sarà $kerf$.
Salute!
Con questo link vai in una pagina della mia Università dove trovi esercizi, e gli esami di passate sessioni con
le soluzioni RAGIONATE.
Io ho fatto così: studiavo le teoria e provavo a svolgere quegli esami.
Per le domande che hai fatto trovi nelle soluzioni le risposte.
Ti troverai bene se parti da una base teorica, e poi
vedi come si opera.
Per esempio: il nucleo della funzione lineare è l'insieme dei vettori la cui immagine è il vettore nullo.
Come si può trovarne una base?
(Intanto: esso è un sottospazio vettoriale).
Vedrai che si fa così: indichi come $(x_1,x_2,...,x_n)$ le coordinate ad una base $B'$ del generico vettore $\vec v\in ker$;
Hai che: $M_(fB')((x_1),(.),(.),(.),(x_n)) = \vec0$, dove $M_(fB')$ è la matrice associata all'operatore lineare rispetto a $B'$.
Hai perciò un sistema lineare omogeneo. Lo spazio delle soluzioni è il nucleo di $f$.
Nel caso che hai proposto:
abbiamo la matrice associata a $B$. Otteniamo la matrice associata alla base canonica (ma perchè dovremmo? per
poi avere le coordinate alla base canonica, ovvero: se operi in $RR^n$, le componenti stesse dei vettori, delle
basi di $kerf$ed $Imf$.).
E come operare?
...
Come vedi ad ogni passo devi richiamare una nozione teorica.
La matrice associata ad una base in un endomorfismo è....la matrice
che ammette come sue colonne le coordinate rispetto a quella base delle immagini dei vettori della base secondo l'endomorfismo.
$M_(B) A^(-1)$, dove $A^(-1)$ è la matrice che prima avevamo moltiplicato a sinistra,
ti dà le immagini rispetto alla base$B$ dei vettori della base canonica.
Poi cambi di base...moltiplicando a sin.il risultato per $A$... .
Avendo capito ciò, puoi abbreviare l'intero corso, poichè la matrice $M_(fB_c)$ che cerchi, l'associata ad $f$ rispetto alla b.canonica, è:
$M_(fB_c) = A(M_(fb)A^(-1))$
ed $M_(fb) = A^(-1)C$; allora
$M_(fB_c) = A(M_(fb)A^(-1)) =A((A^(-1)C)A^(-1)) =CA^(-1)$.
E poi, dunque, imposti il sitema omogeneo; trovi
lo spazio delle soluzioni, che sarà $kerf$.
Salute!
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