Trovare la funzione
L'esercizio fornisce una serie di funzioni calcolate:
\(\displaystyle f(1, 1, 0) = (1, 1, 0) \)
\(\displaystyle f(1, 2, -1) = (0, 1, -1) \)
\(\displaystyle f(1, 1, 1) = (1, 1, 1) \)
Ora come faccio a risalire alla forma della funzione \(\displaystyle f(x, y, z) \) e dimostrare che questa rappresentazione è univoca? Centra l'immagine per caso?
\(\displaystyle f(1, 1, 0) = (1, 1, 0) \)
\(\displaystyle f(1, 2, -1) = (0, 1, -1) \)
\(\displaystyle f(1, 1, 1) = (1, 1, 1) \)
Ora come faccio a risalire alla forma della funzione \(\displaystyle f(x, y, z) \) e dimostrare che questa rappresentazione è univoca? Centra l'immagine per caso?
Risposte
Forse hai omesso di richiedere la linearità della mappa $f$.
Calcola, sfruttando la linearità di $f$, le immagini $f(1,0,0)$,$f(0,1,0)$ e $f(0,0,1)$.
Calcola, sfruttando la linearità di $f$, le immagini $f(1,0,0)$,$f(0,1,0)$ e $f(0,0,1)$.
Ok, mi dispiace ammetterlo e mettere in difficoltà ma non ho capito...
Io devo trovare la classica forma tipo \(\displaystyle f(x, y, z) = (x+y, x+y+2z, y+z) \) e non capisco se c'è un procedimento che mi aiuti...
Io devo trovare la classica forma tipo \(\displaystyle f(x, y, z) = (x+y, x+y+2z, y+z) \) e non capisco se c'è un procedimento che mi aiuti...
Poiché conosci le immagini tramite $f$ dei vettori di una base di $RR^3$, puoi determinare la matrice associata all'endomorfismo $f$. Per prima cosa calcola le immagini dei vettori della base canonica di $RR^3$ (per esempio si vede banalmente che $f(0,0,1) = f(1,1,1) - f(1,1,0) = (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1)$). Continua...
Ho ragionato un bel po' su quello che hai proposto. Tu dici che sfruttando la linearità, che so essere esemplificata dalla relazione:
\(\displaystyle f(x + y) = f(x) + f(y) \)
posso ricavare le immagini dei vettori della base canonica, quindi
\(\displaystyle f(1, 0, 0) \) ; \(\displaystyle f(0, 1, 0) \) ; \(\displaystyle f(0, 1, 0) \)
Tu hai ricavato l'immagine dell'ultimo vettore imponendo:
\(\displaystyle f(0,0,1)=f(1,1,1)−f(1,1,0)=f((1,1,1)−(1,1,0))=(0,0,1) \)
Le altre due immagini si ricavano quindi tramite una combinazione delle funzioni dei vari punti in modo da ottenere prima \(\displaystyle (1, 0, 0) \) poi \(\displaystyle (0, 1, 0) \)?
Una volta trovare queste immagini (ES: quella trovata da te (0, 0, 1)) come ci aiuta a trovare la funzione?
Sono veramente bloccato da ieri...
\(\displaystyle f(x + y) = f(x) + f(y) \)
posso ricavare le immagini dei vettori della base canonica, quindi
\(\displaystyle f(1, 0, 0) \) ; \(\displaystyle f(0, 1, 0) \) ; \(\displaystyle f(0, 1, 0) \)
Tu hai ricavato l'immagine dell'ultimo vettore imponendo:
\(\displaystyle f(0,0,1)=f(1,1,1)−f(1,1,0)=f((1,1,1)−(1,1,0))=(0,0,1) \)
Le altre due immagini si ricavano quindi tramite una combinazione delle funzioni dei vari punti in modo da ottenere prima \(\displaystyle (1, 0, 0) \) poi \(\displaystyle (0, 1, 0) \)?
Una volta trovare queste immagini (ES: quella trovata da te (0, 0, 1)) come ci aiuta a trovare la funzione?
Sono veramente bloccato da ieri...
La matrice associata all'applicazione $f$ si ottiene a partire dalle immagini tramite $f$ dei vettori della base canonica $e_i$ (scritte come vettori colonna). Ciò che puoi dire al momento, conoscendo solo $f(e_3)$, è che la matrice è della forma:
$A_f = ((\star,\star,0),(\star,\star,0),(\star,\star,1))$
Trovati gli altri coefficienti $\star$ della matrice, per trovare l'espressione della $f$ che cerchi basta prendere $\bb{x} \in RR^3$, $\bb{x} = ((x),(y),(z))$ e svolgere il prodotto $A_{f} \cdot \bb{x}$.
$A_f = ((\star,\star,0),(\star,\star,0),(\star,\star,1))$
Trovati gli altri coefficienti $\star$ della matrice, per trovare l'espressione della $f$ che cerchi basta prendere $\bb{x} \in RR^3$, $\bb{x} = ((x),(y),(z))$ e svolgere il prodotto $A_{f} \cdot \bb{x}$.
Grazie per la pazienza, ho impostato tutto come detto da te, ma sembra che non esistano combinazioni di \(\displaystyle f \) che diano \(\displaystyle f(1, 0, 0) e (0, 1, 0) \)...sommando, sottraendo, non si riesce a ottenere nessuno di questi due vettori della base canonica...
$f(1,2,-1) + f(0,0,1) - f(1,1,0) = f(0,1,0)$
Infatti $\mathcal{B} = \{ (1, 1, 0) , (1, 2, -1) , (1, 1, 1) \}$ è una base di $RR^3$, quindi devono esistere combinazioni lineari di vettori di $\mathcal{B}$ che danno i vettori della base canonica $\mathcal{E}$.
Infatti $\mathcal{B} = \{ (1, 1, 0) , (1, 2, -1) , (1, 1, 1) \}$ è una base di $RR^3$, quindi devono esistere combinazioni lineari di vettori di $\mathcal{B}$ che danno i vettori della base canonica $\mathcal{E}$.
Grazie mille...esercizio svolto!
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