Trovare la forma di Jordan dell'inversa di una matrice
Buongiorno a tutti 
Mi sono imbattuto in questo esercizio:
Bene, dal fatto che $A$ è invertibile e $\mu_g\ (lambda\) = 1$ deduciamo che $\lambda != 0$, inoltre la forma di jordan di $A$ ha un unico blocco del tipo
Analizzando $V_(\lambda) = {v \in \mathbb{C^n}| Av = \lambdav}$, si scopre che se $ Av = \lambdav$ allora $A^-1v = 1/\lambda v$, dunque $dimV_\lambda = dimV_(\lambda^-1)$(formalmente non saprei come dimostrare l'uguaglianza delle dimensioni, avevo pensato a costruire un isomorfismo ma magari c'è una via più semplice. anche perché gli autovettori di $A^-1$ sono gli stessi di $A$, solo che sono relativi ad autovalori diversi).
Dunque anche la forma di Jordan di $A^-1$ è costituita da un solo blocco di Jordan(di ordine nxn necessariamente), , questa volta del tipo:$J' =$ \begin{bmatrix}
\lambda^{-1} & 1 & & & \\
0 &\lambda^{-1} & & \\
&&\ddots && 1 \\
&&& & \lambda^{-1}
\end{bmatrix}
quindi la forma canonica di Jordan di $A^-1$ sotto le ipotesi dell'esercizio è: \begin{bmatrix}
\lambda^{-1}& 1 & & & \\
0 &\lambda^{-1} & & \\
&&\ddots && 1 \\
&&& & \lambda^{-1}
\end{bmatrix}
E' corretto come ragionamento? Non saprei come altro procedere.
Mi sono imbattuto in questo esercizio:
Sia $A \in M(n, \mathbb{C})$ una matrice invertibile. Sapendo che A ha un solo autovalore $\lambda$ e che l'autospazio $V_(\lambda)$ ha dimensione $1$, si determini la forma di Jordan di $A^-1$
Bene, dal fatto che $A$ è invertibile e $\mu_g\ (lambda\) = 1$ deduciamo che $\lambda != 0$, inoltre la forma di jordan di $A$ ha un unico blocco del tipo
$J =$ \begin{bmatrix}
\lambda & 1 & & & \\
0 &\lambda & & \\
&&\ddots && 1 \\
&&& & \lambda
\end{bmatrix}
\lambda & 1 & & & \\
0 &\lambda & & \\
&&\ddots && 1 \\
&&& & \lambda
\end{bmatrix}
Analizzando $V_(\lambda) = {v \in \mathbb{C^n}| Av = \lambdav}$, si scopre che se $ Av = \lambdav$ allora $A^-1v = 1/\lambda v$, dunque $dimV_\lambda = dimV_(\lambda^-1)$(formalmente non saprei come dimostrare l'uguaglianza delle dimensioni, avevo pensato a costruire un isomorfismo ma magari c'è una via più semplice. anche perché gli autovettori di $A^-1$ sono gli stessi di $A$, solo che sono relativi ad autovalori diversi).
Dunque anche la forma di Jordan di $A^-1$ è costituita da un solo blocco di Jordan(di ordine nxn necessariamente), , questa volta del tipo:$J' =$ \begin{bmatrix}
\lambda^{-1} & 1 & & & \\
0 &\lambda^{-1} & & \\
&&\ddots && 1 \\
&&& & \lambda^{-1}
\end{bmatrix}
quindi la forma canonica di Jordan di $A^-1$ sotto le ipotesi dell'esercizio è: \begin{bmatrix}
\lambda^{-1}& 1 & & & \\
0 &\lambda^{-1} & & \\
&&\ddots && 1 \\
&&& & \lambda^{-1}
\end{bmatrix}
E' corretto come ragionamento? Non saprei come altro procedere.
Risposte
up
Quindi, mi pare di capire dal tuo ragionamento che le due matrici
\[
\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}\]
e
\[
\begin{bmatrix} \lambda^{-1} & 1 \\ 0 & \lambda^{-1}\end{bmatrix}\]
dovrebbero essere l'una l'inversa dell'altra. Ma questo è falso. Mi sa che qualcosa non va
\[
\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}\]
e
\[
\begin{bmatrix} \lambda^{-1} & 1 \\ 0 & \lambda^{-1}\end{bmatrix}\]
dovrebbero essere l'una l'inversa dell'altra. Ma questo è falso. Mi sa che qualcosa non va
Ciao! Grazie per la risposta
Precisamente quale parte del mio ragionamento ti fa arrivare al fatto che la forma di Jordan di $A^-1$ è l'inversa della forma di Jordan di $A$?
Quello che volevo scrivere è che se $A$ è una matrice che rispetta le ipotesi dell'esercizio allora:
1)La forma di Jordan di $A$ è \[ \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & \\ 0 &\lambda & & \\ &&\ddots && 1 \\ &&& & \lambda \end{bmatrix} \]
2)La forma di Jordan di $A^-1$ è: \[ \begin{bmatrix} \lambda^{-1}& 1 & & & \\ 0 &\lambda^{-1} & & \\ &&\ddots && 1 \\ &&& & \lambda^{-1} \end{bmatrix} \]
Riguardo al tuo controesempio: se $A = ( (\lambda, 1), (0, \lambda))$ allora $A$ coincide con la sua forma di Jordan(che fortuna), l'inversa di $A$ è $A^-1 = ( (\lambda^-1, -\lambda^-2), (0, \lambda^-1))$, adesso:
1) Il polinomio caratteristico di $A^-1$ è $(t- \lambda^-1)^2 \Rightarrow \lambda^-1$ è un autovalore con molteplicità algebrica $2$ e molteplicità geometria è $1$, il polinomio minimo di $A^-1$ coincide con quello caratteristico, quindi la stringa di invarianti per determinare la forma di Jordan è $[\lambda^-1, 2, [1, 2]]$. Da ciò segue che la forma di Jordan di $A^-1$ contiene $\mu_g \(\lambda^-1) = d_1 = 1$ blocchi di jordan e dato che ce n'è solo uno allora deve essere necessariamente di ordine $2$, dunque la forma di jordan di $A^-1$ è proprio $( (\lambda^-1, 1), (0, \lambda^-1))$.
Perdona le imprecisioni, sto studiando questi argomenti per la prima volta.
Grazie per la pazienza.
Ciao
Precisamente quale parte del mio ragionamento ti fa arrivare al fatto che la forma di Jordan di $A^-1$ è l'inversa della forma di Jordan di $A$?
Quello che volevo scrivere è che se $A$ è una matrice che rispetta le ipotesi dell'esercizio allora:
1)La forma di Jordan di $A$ è \[ \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & \\ 0 &\lambda & & \\ &&\ddots && 1 \\ &&& & \lambda \end{bmatrix} \]
2)La forma di Jordan di $A^-1$ è: \[ \begin{bmatrix} \lambda^{-1}& 1 & & & \\ 0 &\lambda^{-1} & & \\ &&\ddots && 1 \\ &&& & \lambda^{-1} \end{bmatrix} \]
Riguardo al tuo controesempio: se $A = ( (\lambda, 1), (0, \lambda))$ allora $A$ coincide con la sua forma di Jordan(che fortuna), l'inversa di $A$ è $A^-1 = ( (\lambda^-1, -\lambda^-2), (0, \lambda^-1))$, adesso:
1) Il polinomio caratteristico di $A^-1$ è $(t- \lambda^-1)^2 \Rightarrow \lambda^-1$ è un autovalore con molteplicità algebrica $2$ e molteplicità geometria è $1$, il polinomio minimo di $A^-1$ coincide con quello caratteristico, quindi la stringa di invarianti per determinare la forma di Jordan è $[\lambda^-1, 2, [1, 2]]$. Da ciò segue che la forma di Jordan di $A^-1$ contiene $\mu_g \(\lambda^-1) = d_1 = 1$ blocchi di jordan e dato che ce n'è solo uno allora deve essere necessariamente di ordine $2$, dunque la forma di jordan di $A^-1$ è proprio $( (\lambda^-1, 1), (0, \lambda^-1))$.
Perdona le imprecisioni, sto studiando questi argomenti per la prima volta.
Grazie per la pazienza.
Ciao
Uff scusami tanto infatti ho detto una fesseria. Hai completamente ragione nel secondo post e immagino anche nel primo, anche se purtroppo non ho controllato tutti i dettagli.
"dissonance":
Uff scusami tanto infatti ho detto una fesseria. Hai completamente ragione nel secondo post e immagino anche nel primo, anche se purtroppo non ho controllato tutti i dettagli.
Tranquillo, capita a tutti.
Grazie per la conferma, a questo punto penso vada bene anche il primo post ma aspetto altri pareri. Magari c'è un ragionamento più elegante
Ciao
up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo