Trovare la dimensione di un sottospazio "implicito"
C'è quest' esercizio, in cui mi viene dato un sottospazio implicito di cui trovare la dimensione. Io penso che possa farlo solo scrivendomi il vettore in forma esplicita, e "portando fuori dalle parentesi" i parametri liberi. E dire che "bastano", ad esempio, n vettori per scrivere, al variare degli n parametri liberi, tutti i vettori di un sottospazio (n vettori, ovviamente, indipendenti tra loro). E' l'unico modo per risolvere un problema simile?
Risposte
Per usare il tuo stesso linguaggio, devi essere più "esplicito" 
Che cos'è un sottospazio "implicito"? e quelle virgolette, perché...
Probabilmente ti riferisci ad un sottospazio presentato non mediante un sistema di generatori ma come insieme delle soluzioni di qualche equazione, giusto?
Che cos'è un sottospazio "implicito"? e quelle virgolette, perché...
Probabilmente ti riferisci ad un sottospazio presentato non mediante un sistema di generatori ma come insieme delle soluzioni di qualche equazione, giusto?
Probabilmente ti riferisci ad un sottospazio presentato non mediante un sistema di generatori ma come insieme delle soluzioni di qualche equazione, giusto?
Sì. Ovviamente non solo come soluzioni di qualche equazione, ma anche indicati in altro modo. Se volessi solo i casi in cui ci sono soluzioni di qualche equazione o sistema, allora potrei giustificarmelo teoricamente. Ma siccome un sottospazio lo posso indicare in mille modi, ecco che ho qualche difficoltà. Non è sempre così "meccanico" il procedimento, vero?
Allora quella che hai proposto è "la" strada. Nel senso che quella che stai verificando è proprio la definizione di dimensione: con quel procedimento verifichi che sono necessari esattamente $n$ parametri variabili linearmente per identificare ogni vettore del sottospazio. Naturalmente ci sono altri metodi più meccanici: il re di questo argomento è il teorema di Rouché-Capelli.
[edit]ho risposto prima che tu modificassi il messaggio, adesso leggo cosa hai cambiato.
[edit]ho risposto prima che tu modificassi il messaggio, adesso leggo cosa hai cambiato.
Purtroppo non riesco a capire bene cosa non ti sia chiaro. Ti capisco: su queste cose ci ho messo una vita per farmi un'idea convincente! Invece di parlare di cose astratte, provo a fare un esempio concreto per vedere se sto centrando il problema. Consideriamo il sottospazio vettoriale $U$ di $RR^2$ definito dall'equazione $x^2+y^2=0$. Supponiamo di sapere a priori che questo insieme $U$ sia effettivamente un sottospazio vettoriale (potrebbe benissimo non esserlo: non è definito da una equazione lineare).
Facciamo finta di non esserci accorti che l'equazione non è lineare e poniamo $x=t$, con l'intenzione di fare variare $t$ liberamente: allora l'equazione data è equivalente al sistema ${(x=t), (y^2=-t^2):}$. Effettivamente c'è un parametro, ma è solo apparentemente libero, perché per $t!=0$ quel sistema non descrive nulla. Quindi, in realtà, per descrivere $U$ un parametro libero è troppo: è un sottospazio di dimensione 0. Nota che è successa una cosa strana: non vale il teorema di Rouché-Capelli. Questa è una ovvia conseguenza del fatto che l'equazione non è lineare.
Chiaramente questo fatterello non significa nulla in sé. L'ho citato nel tentativo di rispondere alla tua domanda
Spero di non averti confuso le idee.
Facciamo finta di non esserci accorti che l'equazione non è lineare e poniamo $x=t$, con l'intenzione di fare variare $t$ liberamente: allora l'equazione data è equivalente al sistema ${(x=t), (y^2=-t^2):}$. Effettivamente c'è un parametro, ma è solo apparentemente libero, perché per $t!=0$ quel sistema non descrive nulla. Quindi, in realtà, per descrivere $U$ un parametro libero è troppo: è un sottospazio di dimensione 0. Nota che è successa una cosa strana: non vale il teorema di Rouché-Capelli. Questa è una ovvia conseguenza del fatto che l'equazione non è lineare.
Chiaramente questo fatterello non significa nulla in sé. L'ho citato nel tentativo di rispondere alla tua domanda
Non è sempre così "meccanico" il procedimento, vero?
Spero di non averti confuso le idee.
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