Trovare ker img e una base per ker e img
Sia $\alpha in R^3$, $B=(e1,e2,e3)$ una base di $R^3$ e con $\alpha(e1)=(1,-1,3)$ $\alpha(e2)=(2,1,2)$ $\alpha(e3)=(0,0,2)$
Trovare $dim ker \alpha$, $dim Img \alpha$, una base di $ker \alpha$ e una di $Img \alpha$
Inoltre verificare se il vettore $(3,0,3)$ ha controimmagini
Allora per svolgere questo esercizio mi sono creato la matrice (potrei aver sbaglio qualche conto ma il ragionamento/procedimento fila?)
$A=((1,2,0),(-1,1,0),(3,2,2))$ l' ho ridotto a scala e ho ottenuto $A=((1,2,0),(0,3,0),(0,0,2))$
Da tale riduzione deduco che $dimImg \alpha=3$, che $dimKer \alpha=n-dimImg \alpha=3-3=0$
Domanda( dove n a livello pratico è il numero di colonne ma a livello teorico dovrebbe essere la dimensione del primo $R^3$ $\alpha:R^3->R^3$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale di partenza?)
Una base per l'img la trovo considerando le colonne della riduzione a scala e ottengo che $B_(Img \alpha)={(1,0,0),(2,3,0),(0,0,2)}$
Una base per il ker invece la trovo mettendo a sistema la riduzione a scala in questa maniera
$\{(x_1+2x_2=0),(3x_2=0),(2x_3=0):}$ da cui ottengo facilmente $\{(x_1=0),(x_2=0),(x_3=0):}$ quindi la base ha le cordinate $B_(ker)={(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)}$
Domanda Questo risultato mi ha sorto una domanda... ma questa base può esser considerata come LA BASE? nel senso che è unica? Per quanto so io se dovesi trovare un'altra base del ker dovrei moltiplicare per uno scalare i vettori (nulli) della base che ho adesso ottenendo sempre la stessa base! E inoltre questa base viene così xkè $dimker \alpha=0$? Quindi la funzione sarebbe un monomorfismo su se stesso?
Ora per verificare che il vettore $(3,0,3)$ ha controimmagini, dato che non so come verificarlo mi so fatto un giro sul forum prima e essendo il vettore parte dell'immagine, devo trovare le $x in f |$ $f(x_1,x_2,x_3)->(3,0,3)$ ho dedotto che per trovare queste controimmagini lo devo mettere a sistema in questa maniera
$\{(x_1+2x_2=3),(3x_2=0),(2x_3=3):}$ da cui i valori $\{(x_1=3),(x_2=0),(x_3=3/2):}$
giusto?
Grazie per l'attenzione
adesso attendo vostre risposte ^_^
Trovare $dim ker \alpha$, $dim Img \alpha$, una base di $ker \alpha$ e una di $Img \alpha$
Inoltre verificare se il vettore $(3,0,3)$ ha controimmagini
Allora per svolgere questo esercizio mi sono creato la matrice (potrei aver sbaglio qualche conto ma il ragionamento/procedimento fila?)
$A=((1,2,0),(-1,1,0),(3,2,2))$ l' ho ridotto a scala e ho ottenuto $A=((1,2,0),(0,3,0),(0,0,2))$
Da tale riduzione deduco che $dimImg \alpha=3$, che $dimKer \alpha=n-dimImg \alpha=3-3=0$
Domanda( dove n a livello pratico è il numero di colonne ma a livello teorico dovrebbe essere la dimensione del primo $R^3$ $\alpha:R^3->R^3$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale di partenza?)
Una base per l'img la trovo considerando le colonne della riduzione a scala e ottengo che $B_(Img \alpha)={(1,0,0),(2,3,0),(0,0,2)}$
Una base per il ker invece la trovo mettendo a sistema la riduzione a scala in questa maniera
$\{(x_1+2x_2=0),(3x_2=0),(2x_3=0):}$ da cui ottengo facilmente $\{(x_1=0),(x_2=0),(x_3=0):}$ quindi la base ha le cordinate $B_(ker)={(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)}$
Domanda Questo risultato mi ha sorto una domanda... ma questa base può esser considerata come LA BASE? nel senso che è unica? Per quanto so io se dovesi trovare un'altra base del ker dovrei moltiplicare per uno scalare i vettori (nulli) della base che ho adesso ottenendo sempre la stessa base! E inoltre questa base viene così xkè $dimker \alpha=0$? Quindi la funzione sarebbe un monomorfismo su se stesso?
Ora per verificare che il vettore $(3,0,3)$ ha controimmagini, dato che non so come verificarlo mi so fatto un giro sul forum prima e essendo il vettore parte dell'immagine, devo trovare le $x in f |$ $f(x_1,x_2,x_3)->(3,0,3)$ ho dedotto che per trovare queste controimmagini lo devo mettere a sistema in questa maniera
$\{(x_1+2x_2=3),(3x_2=0),(2x_3=3):}$ da cui i valori $\{(x_1=3),(x_2=0),(x_3=3/2):}$
giusto?
Grazie per l'attenzione
adesso attendo vostre risposte ^_^
Risposte
"ansioso":
Domanda( dove n a livello pratico è il numero di colonne ma a livello teorico dovrebbe essere la dimensione del primo $R^3$ $\alpha:R^3->R^3$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale di partenza?)
livello pratico o teorico non fa differenza perché le colonne sono tre proprio perché sono le immagini dei vettori di una base di $RR3$ che contiene tre vettori
"ansioso":
Una base per l'img la trovo considerando le colonne della riduzione a scala e ottengo che $B_(Img \alpha)={(1,0,0),(2,3,0),(0,0,2)}$
questa è sbagliata perché devi prendere non le colonne della riduzione a scala ma le colonne della matrice di partenza..penso o.o
"ansioso":
Una base per il ker invece la trovo mettendo a sistema la riduzione a scala in questa maniera
$\{(x_1+2x_2=0),(3x_2=0),(2x_3=0):}$ da cui ottengo facilmente $\{(x_1=0),(x_2=0),(x_3=0):}$ quindi la base ha le cordinate $B_(ker)={(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)}$
Domanda Questo risultato mi ha sorto una domanda... ma questa base può esser considerata come LA BASE? nel senso che è unica? Per quanto so io se dovesi trovare un'altra base del ker dovrei moltiplicare per uno scalare i vettori (nulli) della base che ho adesso ottenendo sempre la stessa base! E inoltre questa base viene così xkè $dimker \alpha=0$? Quindi la funzione sarebbe un monomorfismo su se stesso?
si questa è l'unica base che contiene il vettore 0
"simo90":
[quote="ansioso"]
Domanda( dove n a livello pratico è il numero di colonne ma a livello teorico dovrebbe essere la dimensione del primo $R^3$ $\alpha:R^3->R^3$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale di partenza?)
livello pratico o teorico non fa differenza perché le colonne sono tre proprio perché sono le immagini dei vettori di una base di $RR3$ che contiene tre vettori
"ansioso":
[/quote]
si in questo caso è indifirrente ma se fosse stato $R^3->R^4$? sarebbe stato 4?
Calma ragazzi calma!
Prima di tutto, non mi stancherò mai di ricordarvi che dovete ricordare la teoria e non risolvere gli esercizi a macchinetta!
Vediamo un po', andiamo con ordine. Partiamo dalla prima domanda:
Il teorema generale ti dice che $n$ è la dimensione dello spazio vettoriale di partenza.
Se calcoli la matrice associata (rispetto a due fissate basi) all'applicazione lineare $f:V\to W$, essa sarà del tipo $m\times n$, dove $n,m$ sono le dimensioni di $V,W$ rispettivamente.
Quindi $n$ è la dimensione di $V$ che è uguale al numero di colonne della matrice associata.
questa è sbagliata perché devi prendere non le colonne della riduzione a scala ma le colonne della matrice di partenza..penso o.o[/quote]Sono d'accordo con "Simo90", ma specificando che la matrice deve essere calcolata rispetto alla base canonica (nel caso di endomorismi $RR^n\to RR^m$).
E in generale quella che si ottiene non è una base, ma solo un sistema di generatori dell'immagine.
Attenzione: essere una base è qualcosa di più che essere un sistema di generatori!
Questa cosa che hai scritto, secondo me, è proprio brutta.
Che cosa è una base? E' un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio.
Questi tre vettori generano $ker(f)$, ma sono linearmente indipendenti? Certo che no!
E tra l'altro quando lo spazio è ridotto al solo vettore nullo non si può calcolare la dimensione, o meglio si pone che la sua dimensione è zero.
Non ha senso calcolare una base di un sottospazio ridotto al solo vettore nullo.
Prima di tutto, non mi stancherò mai di ricordarvi che dovete ricordare la teoria e non risolvere gli esercizi a macchinetta!
Vediamo un po', andiamo con ordine. Partiamo dalla prima domanda:
"ansioso":
Domanda( dove n a livello pratico è il numero di colonne ma a livello teorico dovrebbe essere la dimensione del primo $R^3$ $\alpha:R^3->R^3$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale di partenza?)
Il teorema generale ti dice che $n$ è la dimensione dello spazio vettoriale di partenza.
Se calcoli la matrice associata (rispetto a due fissate basi) all'applicazione lineare $f:V\to W$, essa sarà del tipo $m\times n$, dove $n,m$ sono le dimensioni di $V,W$ rispettivamente.
Quindi $n$ è la dimensione di $V$ che è uguale al numero di colonne della matrice associata.
"simo90":
[quote="ansioso"]Una base per l'img la trovo considerando le colonne della riduzione a scala e ottengo che $B_(Img \alpha)={(1,0,0),(2,3,0),(0,0,2)}$
questa è sbagliata perché devi prendere non le colonne della riduzione a scala ma le colonne della matrice di partenza..penso o.o[/quote]Sono d'accordo con "Simo90", ma specificando che la matrice deve essere calcolata rispetto alla base canonica (nel caso di endomorismi $RR^n\to RR^m$).
E in generale quella che si ottiene non è una base, ma solo un sistema di generatori dell'immagine.
Attenzione: essere una base è qualcosa di più che essere un sistema di generatori!
"ansioso":
... quindi la base ha le cordinate $B_(ker)={(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)}$
Questa cosa che hai scritto, secondo me, è proprio brutta.
Che cosa è una base? E' un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio.
Questi tre vettori generano $ker(f)$, ma sono linearmente indipendenti? Certo che no!
E tra l'altro quando lo spazio è ridotto al solo vettore nullo non si può calcolare la dimensione, o meglio si pone che la sua dimensione è zero.
Non ha senso calcolare una base di un sottospazio ridotto al solo vettore nullo.
Il teorema generale ti dice che n è la dimensione dello spazio vettoriale di partenza.
Se calcoli la matrice associata (rispetto a due fissate basi) all'applicazione lineare f:V→W, essa sarà del tipo m×n, dove n,m sono le dimensioni di V,W rispettivamente.
Quindi n è la dimensione di V che è uguale al numero di colonne della matrice associata.
Quindi n è il numero di colonne dello spazio vettoriale di partenza.... Good! Chiarissimo (non sempre ci si ricorda tuta la teoria
)Sono d'accordo con "Simo90", ma specificando che la matrice deve essere calcolata rispetto alla base canonica (nel caso di endomorismi ℝn→ℝm).
E in generale quella che si ottiene non è una base, ma solo un sistema di generatori dell'immagine.
Attenzione: essere una base è qualcosa di più che essere un sistema di generatori!
Quindi se dovessi prendere una base considerando la riduzione a scala dovrei fare attenzione a selezionare le componenti sulle colonne nel mio caso, che risultano essere indipendenti altrimenti non è una base ma un sistema di generatori giusto cirasa? (ho un esempio in cui la prof prende la base dalla riduzione a scala facendo appunto attenzione a selezionare solo i vettori colonna indipendenti se la cosa non è chiara posto l'esercizio) e cmq in questo caso quella $B_(Img \alpha)={(1,0,0),(2,3,0),(0,0,2)}$ risulta essere una base in quanto i vettori sono indipendenti
Questa cosa che hai scritto, secondo me, è proprio brutta. Evil or Very Mad Evil or Very Mad
Che cosa è una base? E' un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio.
Questi tre vettori generano ker(f), ma sono linearmente indipendenti? Certo che no!
E tra l'altro quando lo spazio è ridotto al solo vettore nullo non si può calcolare la dimensione, o meglio si pone che la sua dimensione è zero.
Non ha senso calcolare una base di un sottospazio ridotto al solo vettore nullo.
Sisi la scrittura è stata volutamente scritta brutalmente, proprio per dire EH??? O_o
quindi in questo esercizio che ho svolto essendo $ker(f)=0$ una base del ker è data dal vettor nullo? $B_(ker\alpha)={0}$??
"ansioso":
Quindi se dovessi prendere una base considerando la riduzione a scala dovrei fare attenzione a selezionare le componenti sulle colonne nel mio caso, che risultano essere indipendenti altrimenti non è una base ma un sistema di generatori giusto cirasa?
Non devi prendere le colonne dopo la riduzione a scala. La riduzione a scala fa perdere alcune informazioni.
Come ti ha detto "Simo90", per un'applicazione lineare $RR^n\to RR^m$, si prendono le colonne della matrice associata rispetto alla base canonica e si ottiene un sistema di generatori dell'immagine (ma -ripeto- non ridotta a scala, quella iniziale).
Da questo sistema poi se ne estrae una base, prendendo i vettori linearmente indipendenti.
Nel caso genarale, per calcolare un sistema di generatori dell'immagine di una generica applicazione lineare $f:V\to W$, un sistema di generatori dell'immagine di $f$ è formato dai vettori $f(v_1),...,f(v_n)$ dove $(v_1,...v_n)$ è una base di $V$.
"ansioso":
quindi in questo esercizio che ho svolto essendo $ker(f)=0$ una base del ker è data dal vettor nullo? $B_(ker\alpha)={0}$??
Se scrivi così sembra che $"dim"ker(f)$ abbia dimensione $1$ (perchè ammette una base formata da un solo vettore), mentre noi sappiamo che ha dimensione $0$.
E d'altra parte $(0,0,0)$ non può stare in nessuna base, perchè non è linearmente indipendente.
Ripeto quanto detto precedentemente. Non ha senso trovare una base dello spazio ridotto al solo vettore nullo. Dovrebbe essere formata da zero vettori.
In questo caso $ker(f)$ è ridotto al solo vettore nullo. Punto. Non serve specificare che la sua base è formata da alcun vettore.
Allora posto l'eser della mia prof xkè ho contradizioni nella mia testa
sia $\alpha in HoM(RR^3,RR^4)$
$A=((1,1,-1,1),(1,-1,1,0),(1,1,-1,0))$ e come riduzione a scala $A=((1,1,-1,1),(0,2,-2,1),(0,0,0,1))$
Ha individuato i pivot che sono 1 2 -1(ma questo non centra nulla) a parte a indicare che $r(A)=3$ e che $dimIm \alpha=3$
Come base la prof ha scritto $B_(Im \alpha)={(1,0,0),(1,2,0),(1,1,1)}$ che sono proprio le colonne indipendenti della riduzione a scala... ecco da dove nasce la mia confusione
$dimKer \alpha=4-3=1$ Poi per trovare una base del ker ha trovato prima il sistema di generatori partendo sempre dalla riduzione a scala
$\{(x_1+x_2-x_3+x_4=0),(2x_2-2x_3+x_4=0),(x_4=0):}$ $\{(x_1=0),(x_2=x_3),(x_4=0):}$ allora possiamo scrivere
$KerS={(0,\lambda,\lambda,0)|\lambda in RR}$
Se vogliamo una base $B_(kerS)={0,1,1,0}$
E' sbagliato anche questo?
sia $\alpha in HoM(RR^3,RR^4)$
$A=((1,1,-1,1),(1,-1,1,0),(1,1,-1,0))$ e come riduzione a scala $A=((1,1,-1,1),(0,2,-2,1),(0,0,0,1))$
Ha individuato i pivot che sono 1 2 -1(ma questo non centra nulla) a parte a indicare che $r(A)=3$ e che $dimIm \alpha=3$
Come base la prof ha scritto $B_(Im \alpha)={(1,0,0),(1,2,0),(1,1,1)}$ che sono proprio le colonne indipendenti della riduzione a scala... ecco da dove nasce la mia confusione
$dimKer \alpha=4-3=1$ Poi per trovare una base del ker ha trovato prima il sistema di generatori partendo sempre dalla riduzione a scala
$\{(x_1+x_2-x_3+x_4=0),(2x_2-2x_3+x_4=0),(x_4=0):}$ $\{(x_1=0),(x_2=x_3),(x_4=0):}$ allora possiamo scrivere
$KerS={(0,\lambda,\lambda,0)|\lambda in RR}$
Se vogliamo una base $B_(kerS)={0,1,1,0}$
E' sbagliato anche questo?
Secondo me, prendere le colonne della matrice dopo la riduzione a scala non ti dà un sistema di generatori dell'immagine.
Prendi ad esempio l'applicazione lineare $f:RR^2\to RR^3$ tale che
$f(e_1)=(1,1,1)$
$f(e_2)=(1,1,1)$
dove $e_1,e_2$ è la base canonica di $RR^2$.
Ovviamente l'immagine di $f$ è lo spazio generato da $(1,1,1)$.
Ebbene, la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche di $RR^2$ (in partenza) e $RR^3$ (in arrivo) è $((1,1),(1,1),(1,1))$ che, ridotta a scala, diventa $((1,1),(0,0),(0,0))$.
Ma certamente l'immagine di $f$ non è generata da $(1,0,0)$!
Forse la tua prof ha preso le colonne della matrice iniziale (quelle corrispondenti ai pivot) ottenedno che una base di $Im(\alpha)$ è $(1,1,1),(1,-1,1),(1,0,0)$.
Ma un'altra base di $Im(\alpha)$ (come puoi facilmente verificare) è quella che ha scritto la tua prof.
Prendi ad esempio l'applicazione lineare $f:RR^2\to RR^3$ tale che
$f(e_1)=(1,1,1)$
$f(e_2)=(1,1,1)$
dove $e_1,e_2$ è la base canonica di $RR^2$.
Ovviamente l'immagine di $f$ è lo spazio generato da $(1,1,1)$.
Ebbene, la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche di $RR^2$ (in partenza) e $RR^3$ (in arrivo) è $((1,1),(1,1),(1,1))$ che, ridotta a scala, diventa $((1,1),(0,0),(0,0))$.
Ma certamente l'immagine di $f$ non è generata da $(1,0,0)$!
Forse la tua prof ha preso le colonne della matrice iniziale (quelle corrispondenti ai pivot) ottenedno che una base di $Im(\alpha)$ è $(1,1,1),(1,-1,1),(1,0,0)$.
Ma un'altra base di $Im(\alpha)$ (come puoi facilmente verificare) è quella che ha scritto la tua prof.
forse hai ragione devo controllare meglio...poi ti faccio sapere
"cirasa":
[quote="simo90"][quote="ansioso"]Una base per l'img la trovo considerando le colonne della riduzione a scala e ottengo che $B_(Img \alpha)={(1,0,0),(2,3,0),(0,0,2)}$
questa è sbagliata perché devi prendere non le colonne della riduzione a scala ma le colonne della matrice di partenza..penso o.o[/quote]Sono d'accordo con "Simo90", ma specificando che la matrice deve essere calcolata rispetto alla base canonica (nel caso di endomorismi $RR^n\to RR^m$).
E in generale quella che si ottiene non è una base, ma solo un sistema di generatori dell'immagine.
Attenzione: essere una base è qualcosa di più che essere un sistema di generatori!
[/quote]
si è vero cirasa giusto chiarimento
Forse la tua prof ha preso le colonne della matrice iniziale (quelle corrispondenti ai pivot) ottenedno che una base di Im(α) è (1,1,1),(1,-1,1),(1,0,0).
ok... tu praticamente hai fatto la base come dicevi tu partendo cioè dalla matrice non ridotta a scala,selezionando le colonne indipendenti, cioè quelle dei pivot!
Ma non è ok questo
Ma un'altra base di Im(α) (come puoi facilmente verificare) è quella che ha scritto la tua prof.
Cioè una base non si ottiene dalla combinazione lineare di uno scalare per un sistema di generatori indipendenti?
$B_(Imα)={(1,0,0),(1,2,0),(1,1,1)}$ nn riesco a trovare lo scalare in questo caso
Riporto un teo che ha dettato la prof che chiarisce un po le cose (che sia vero o che se lo sia inventato non so)
Teo. Dato il sistema
(1)$Ax=b$ e la sua riduzione a scala (2)$Sx=c$
Si ha
a. (1) è equivalente a (2)
b. $KerS=KerA$
c. $r(A)=r(S)$
Se $A\equiv S$ allora $L(A^1...A^n)=L(S^1...S^n)$ *
d. Se $S^1...S^r$ sono le colonne corrispondenti ai pivot di S allora ${A^1A^2A^r}$ è una base di $ImgA$
Per risolvere il sistema (1) basta applicare la riduzione a scala, per trasformarlo in un sistema a scala equivalente
Per trovare il rango e una base dell' $ImgA$, basta trafsormala in una matrice a scala dello stesso rango
Per trovare $dimKer\alpha$ e una sua base basta ridurre a scala A e trovare $dimKer\beta$
Per trovare una base di $U\capV$ si considera la matrice A formata dalle basi dei due spazi poichè $U-V=ImgA$ dalla formula di Grassman si ottine $dimKer A$
* Per cirasa: questo credo sia il motivo per il quale ha preso le colonne dei pivot della riduzione a scala, altrimenti è giusto quello che dicevi tu cioè che sarebbe il punto d! Per una base dell' $ImgA$ van prese le colonne della matrice originaria
Teo. Dato il sistema
(1)$Ax=b$ e la sua riduzione a scala (2)$Sx=c$
Si ha
a. (1) è equivalente a (2)
b. $KerS=KerA$
c. $r(A)=r(S)$
Se $A\equiv S$ allora $L(A^1...A^n)=L(S^1...S^n)$ *
d. Se $S^1...S^r$ sono le colonne corrispondenti ai pivot di S allora ${A^1A^2A^r}$ è una base di $ImgA$
Per risolvere il sistema (1) basta applicare la riduzione a scala, per trasformarlo in un sistema a scala equivalente
Per trovare il rango e una base dell' $ImgA$, basta trafsormala in una matrice a scala dello stesso rango
Per trovare $dimKer\alpha$ e una sua base basta ridurre a scala A e trovare $dimKer\beta$
Per trovare una base di $U\capV$ si considera la matrice A formata dalle basi dei due spazi poichè $U-V=ImgA$ dalla formula di Grassman si ottine $dimKer A$
* Per cirasa: questo credo sia il motivo per il quale ha preso le colonne dei pivot della riduzione a scala, altrimenti è giusto quello che dicevi tu cioè che sarebbe il punto d! Per una base dell' $ImgA$ van prese le colonne della matrice originaria
"ansioso":
Cioè una base non si ottiene dalla combinazione lineare di uno scalare per un sistema di generatori indipendenti?
Sei d'accordo con me che questa frase non ha molto senso? Da dove l'ha presa?
Se hai uno spazio ci sono infinite basi che non sono tutte proporzionali fra loro.
Per vedere se un insieme di vettori è una base devi verificare la definizione di base che conosci. Fine.
A proposito del messaggio successivo, cosa si intende per $A\equiv B$?
A equivale a B
...ovvero $B$ è ottenibile da $A$ mediante opportune mosse di Gauss?
Ti ripeto, secondo me, la proposizione che hai citato è falsa.
Controesempio:
$A=((1,1),(1,1),(1,1))$ e $S=((1,1),(0,0),(0,0))$
$S$ è ottenibile da $A$ mediante mosse di Gauss (sommo alla seconda e terza riga la prima moltiplicata per $-1$).
Ma lo spazio generato dalle colonne di $A$ è ovviamente $<(1,1,1)>$ che è ben diverso da $<(1,0,0)>$.
Non so, forse mi sfugge qualcosa, ma non mi pare.
Ti ripeto, secondo me, la proposizione che hai citato è falsa.
Controesempio:
$A=((1,1),(1,1),(1,1))$ e $S=((1,1),(0,0),(0,0))$
$S$ è ottenibile da $A$ mediante mosse di Gauss (sommo alla seconda e terza riga la prima moltiplicata per $-1$).
Ma lo spazio generato dalle colonne di $A$ è ovviamente $<(1,1,1)>$ che è ben diverso da $<(1,0,0)>$.
Non so, forse mi sfugge qualcosa, ma non mi pare.
io mi attengo a ciò che dici la prof anche se concordo con te... alla fin dei conti prendere le colonne di una matrice a da un'altra a me non cambia molto... 
basta che lei è contenta e non mi fa storie
basta che lei è contenta e non mi fa storie
OT
A dire la verità, l'ultima cosa che hai detto mi sembra tutto il contrario di quello che dovrebbe fare uno studente.
Capisco la tua posizione, ma non la condivido
In bocca al lupo per l'esame!
/OT
A dire la verità, l'ultima cosa che hai detto mi sembra tutto il contrario di quello che dovrebbe fare uno studente.
Capisco la tua posizione, ma non la condivido
In bocca al lupo per l'esame!
/OT
lo so, ma quando la prof non ti riceve per chiarimenti quando spiega non si capisce che vuol dire... bisogna pure arrangiarsi a volte!! E dato che studiare a fine luglio... non è il massimo... ho voglia di andare a mare per la prima volta ancora questanno, con l'esame verbalizzato!!
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