Trovare immagine vettore in una applicazione lineare

[mirko_unifi]

Mi sono trovato a svolgere il seguente esercizio in un esami di geometria e algebra lineare e non sapevo proprio come muovermi...Qualcuno mi può spiegare il procedimento??

Sia f : R3 --> R3 l'applicazione lineare tale che:
$ (1;-1;2) in Ker(f) $ ;
(1; 1; 1) è autovettore con autovalore -3;
f(-1; 1; 0) =(-3;-2;-6).
L'immagine del vettore (-3;-3; 1) è il vettore:
1) (3; 5;-3)
2) (5;-3; 3)
3) (-5; 3;-3)
4) (-3; 3; 5)
5) nessuna delle altre risposte

La soluzione giusta è la prima, ma vorrei che mi fosse spiegato il procedimento visto che questo esercizio è presente in tutti gli esami..Grazie!!

[orazioster]

Si basa sul trovare la matrice
associata all'applicazione.
Tu hai già tre immagini.
Chiediti: i vettori $(1,-1,2)$, $1,1,1)$ e $(-1,1,0)$ fanno
una base?

Se sì, le loro immagini IN QUESTA LORO BASE, chiamiamola $B_1$ (devi
applicare la matrice di cambiamento di base) ti
daranno le colonne della matrice associata ad $f$ in $B_1$.

Porta il vettore di cui vuoi conoscere l'immagine nella base $B_1$ (ancora mediante la matrice di cambiamento di base).
Trova l'immagine (che sarà in $B_1$), e porta
quest'immagine di nuovo nella base canonica.

[mirko_unifi]

Credo di aver capito, domani provo a svolgere e ti faccio sapere.
Grazie per l'aiuto, non sapevo proprio da dove partire.

[mistake89]

Puoi anche determinare $(-3,-3,1)$ come combinazione lineare dei vettori assegnati (che suppongo siano una base) e ricostruirti il tutto. In pratica sapendo che $f$ è lineare $f(-3,-3,1)=af(1,-1,2)+bf(1,1,1)+cf(-1,1,0)$ che sai benissimo come si comportano!

[^Tipper^1]

Una domanda. So come risolvere un esercizio come questo, però non ho capito, cosa rappresentano, una volta trovati, $a,b,c$.

[mistake89]

I coefficienti del vettore rispetto alla base assegnata!