Trovare il piano per la retta $r$, parallelo al piano $pi$

[~Mihaela~13]

salve
avevo già proposto questo problema tempo fa, ma nessuno ha risposto e per questo adesso gli dedico un topic a parte
ecco qui la traccia dell'esercizio:

Data la retta $ r: $ $ { ( 2x + 2y + z = 0 ),( y + 3z=0 ):} $ , trovare il piano per $r$ parallelo a $pi : x+ 2y - 2z=0$.


io ho considerato la retta $r$ come asse del fascio di piani $Phi$
$Phi : 2x + 2y + z - 2 + k( y + 3z ) = 0$
quindi...
$Phi : 2x +(2+k)y + (1+3k)z - 2 = 0$
e questa è un'equazione "generica" di un piano appartenente al fascio $Phi$ di asse $r$, quindi un piano passante per $r$
se io voglio che questo piano sia parallelo a $pi$...
posso imporre la condizione di parallelismo ai due vettori normali dei rispettivi piani... (quello "generico" e $pi$)
e cioè da
$Phi : 2x +(2+k)y + (1+3k)z - 2 = 0$ ottengo un vettore $omega_f.( 2, 2+k, 1+3k)$
e da
$pi : x+ 2y - 2z=0$ ottengo un vettore $omega_p ( 1, 2, -2)$
affinchè il piano passante per $r$ di equazione $Phi$ sia parallelo al piano $pi$ i due vettori $omega_f. ( 2, 2+k, 1+3k)$ e $omega_p ( 1, 2, -2)$ devono essere paralleli/proporzionali, giusto?
solo che non so più come fare (sempre se è giusto il ragionamento fin qui)
perchè da $( 2, 2+k, 1+3k) = t * ( 1, 2, -2)$
ottengo una sistema
${ (2=t),(2+k=2t),(1+3k=-2t):}$ da cui $k=-3/4$ ma è un valore non coerente con $t=2$
cioè... non capisco che cos'è che non va...
per imporre che siano paralleli potrei anche scrivere $2/1=(2+k)/2=(1+3k)/(-2)$ ma i conti non escono ugualmente...
che pasticcio ho combinato!?!?!?

[mistake89]

Ma la retta $r$ non interseca $pi$ in $O$? Se è così tale piano esiste o no?

[~Mihaela~13]

ah,... cioè, semplicemente non esiste tale piano, perchè qualunque piano appartenente al fascio interseca $pi$ e quindi non potrà mai essere parallelo ad esso!?
sono proprio una frana... adesso è ufficiale.......
quindi in ogni caso dovrei fare l'intersezione prima, verificare che non ci sia... e allora cercare un eventuale "piano parallelo"...??

[mistake89]

Ma no, nessuna frana, è che spesso si parte in quarta con l'esercizio e non si verifica nello spazio quale sia la configurazione della traccia.

Quello che dal basso della mia esperienza posso consigliarti è di cercare degli elementi nel testo che ti aiutino a visualizzare la situazione, si opera decisamente meglio!

[~Mihaela~13]

uffi... non ci avevo ragionato... ti ringrazio, davvero... certe volte neanche riesco a credere che degli esercizi così semplici riescono a farmi perdere tanto tempo...
grazie di nuovo
alla prossima