Trovare il parametro per cui le controimmagini sono uguali
Buonasera! Oggi ho trovato un esercizio che sinceramente non sono sicuro di aver risolto bene..
L'esercizio dice:
Assegnata l'applicazione lineare $L: R^2 -> R^2$, definita da $L(x,y) = (tx + 3y,x)$, determinare t in modo che la controimmagine di $(1,2)$ coincida con $(2,1)$.
Io ho fatto una cosa abbastanza fantasiosa
Praticamente ho impostato due sistemi diversi:
$\{(tx+3y=1),(x=1):}$
$\{(tx+3y=2),(x=2):}$
Poi ho sostituito le seconde equazioni nelle prime di ogni sistema, e messo a sistema quello che mi è uscito!
$\{(2t+3y=1),(t+3y=2):}$
Che andato a risolvere mi ha fatto trovare $t=-1$
Sinceramente non sono sicuro del metodo, anzi il trovare le controimmagini di vettore secondo un applicazione lineare è una cosa che non so se ho capito bene come fare!
L'esercizio dice:
Assegnata l'applicazione lineare $L: R^2 -> R^2$, definita da $L(x,y) = (tx + 3y,x)$, determinare t in modo che la controimmagine di $(1,2)$ coincida con $(2,1)$.
Io ho fatto una cosa abbastanza fantasiosa
Praticamente ho impostato due sistemi diversi:
$\{(tx+3y=1),(x=1):}$
$\{(tx+3y=2),(x=2):}$
Poi ho sostituito le seconde equazioni nelle prime di ogni sistema, e messo a sistema quello che mi è uscito!
$\{(2t+3y=1),(t+3y=2):}$
Che andato a risolvere mi ha fatto trovare $t=-1$
Sinceramente non sono sicuro del metodo, anzi il trovare le controimmagini di vettore secondo un applicazione lineare è una cosa che non so se ho capito bene come fare!
Risposte
Ciao. Credo, ma non sono sicuro che sia il metodo più economico per cui aspetto conferme, che in generale si possa fare così: prendi la matrice inversa dell'operatore e la applichi al vettore di cui vuoi trovare la controimmagine; nel tuo esempio, se:
[tex]L=\begin{pmatrix}
t & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}[/tex] allora [tex]L^{-1}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1/3 & -t/3
\end{pmatrix}[/tex]; applichi $L^(-1)$ al vettore e sei a posto perchè hai trovato la sua
controimmagine. Nel tuo caso:
[tex]\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1/3 & -t/3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
1/3-2t/3
\end{pmatrix}[/tex] che corrisponde a [tex]\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}[/tex] se $t=-1$. Salvo errori miei.
[tex]L=\begin{pmatrix}
t & 3\\
1 & 0
\end{pmatrix}[/tex] allora [tex]L^{-1}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1/3 & -t/3
\end{pmatrix}[/tex]; applichi $L^(-1)$ al vettore e sei a posto perchè hai trovato la sua
controimmagine. Nel tuo caso:
[tex]\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1/3 & -t/3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
1/3-2t/3
\end{pmatrix}[/tex] che corrisponde a [tex]\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}[/tex] se $t=-1$. Salvo errori miei.
Modulo conti che non ho controllato, il procedimento di Palliit è corretto e del tutto generale.
Grazie della conferma, Delirium !
Vi ringrazio! Come metodo devo dire è migliore del mio 
Però una curiosità.. quello che ho seguito io va bene comunque o è un caso fortuito che sia venuto lo stesso risultato=
Però una curiosità.. quello che ho seguito io va bene comunque o è un caso fortuito che sia venuto lo stesso risultato=
@Sergio: chiarissimo ed esauriente, grazie mille!
Grazie anche a te! Devo dire un'ottima spiegazione, chiara ed completa 
Non solo hai risposto alla mia domanda ma mi hai chiarito perchè il metodo che seguivo con alcuni esercizi (simili a questo) era esatto, io lo applicavo e basta
Non solo hai risposto alla mia domanda ma mi hai chiarito perchè il metodo che seguivo con alcuni esercizi (simili a questo) era esatto, io lo applicavo e basta
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo