Trovare esplicitamente un omeomorfismo

[Sk_Anonymous]

Considerare i sottospazi topologici di $RR^2$ così definiti: $A={(x,y):\x^2+y^2<=1,(x,y)!=0}$ e $B={(x,y):1/4<=x^2+y^2<=1}$. Dire se sono omemorfi e, in caso affermativo, trovare esplicitamente l'omemorfismo.

Abbiamo sicuramente che $A$ è omemorfo a $B$. Non ho idea, invece, di come trovare esplicitamente l'omemorfismo richiesto; l'unica cosa che riesco a notare è che conviene lavorare su un singolo quadrante del piano cartesiano, vista la simmetria dei due sottospazi topologici.
Qualche suggerimento?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mi sembra strano che A e B siano omeomorfi, dato che B è compatto mentre A non lo è...

[Sk_Anonymous]

Scusa, ho sbagliato a trascrivere l'esercizio
L'insieme $B$ è definito da ${(x,y):1/4

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[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"matths87":Scusa, ho sbagliato a trascrivere l'esercizio
L'insieme $B$ è definito da ${(x,y):1/4

Aaahhhnnn

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Io definirei una funzione $A to B$ mandando $a u$ (dove $|u|=1$ e $a in (0,1]$) in $3/4 u +1/2(a u-1/2 u) = (1+a)u/2$. Geometricamente sto portando linearmente la striscia (0,1] (corrispondente ad A) nella striscia (1/2,1] (corrispondente a B).

In coordinate cartesiane è $A to B$, $(x,y) to ((x/(sqrt{x^2+y^2})+x)/2,(y/(sqrt{x^2+y^2})+y)/2)$. Verificare che si tratta di un omeomorfismo non dovrebbe essere difficile.

Edito: ho corretto la forma cartesiana.

[Sk_Anonymous]

A leggere il testo dell'esercizio, non sembrava così difficile
La funzione $f$ da te definita è continua (lo sono le componenti) e bigettiva. Ma come si può dimostrare la continuità della funzione inversa? Di solito in questi esercizi (almeno in quelli che ci dà il nostro docente) applico il teorema secondo cui se $A$ è compatto e $B$ è di Haussdorf, allora $f^{-1}$ è continua. Come posso procedere in questo caso?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Basta scrivere l'inversa.

Se hai capito il significato geometrico non è difficile.

[Sk_Anonymous]

Ok, ho l'inversa, che è palesemente continua. Grazie per l'aiuto