Trovare equazione dei piani
Salve,
potreste dirmi se procedo bene o male?
Devo trovare l'equazione di due piani $π: ax+by+cz+d=0$ e $σ: a'x+b'y+c'z+d'=0$ tali da essere perpendicolari alla retta di equazione $ { ( x=-1 ),( y=3+2t ),( z=1-t ):} $ e che hanno distanza 1 dal punto O(0,0,0).
Ho fatto così:
Ho trovato il piano che contiene la retta r, trovandomi un punto di r, ad esempio P (-1,5,0), dato che la retta ha equazione cartesiana $ { ( x=-1 ),( y=3-2z+2 ):} $, il vettore direttore della retta è $v=(0,2,-1)$ e quindi il piano $α: 0(x+1)+2(y-5)-1(z-0)=0 => 2y-z-10=0$. Ora il generico piano $π: ax+by+cz+d=0$ deve essere perpendicolare a $α: 2y-z-10=0$ e contenere la retta m, quindi, dato che i parametri direttori di α sono $v=(0,2,-1)$, il piano passante per P è $π: a(x+1)+b(y-5)+cz=0$ e il prodotto vettoriale tra v e v' deve essere uguale a 0, dove v' è il vettore direttore di π, v'(a,-5b,c). Esce $v*v'=0 <=> -10b=c$. Il generico piano π quindi ha equazione $a(x+1)+b(y-5)-10bz=0$. Ora l'ultima condizione è che la distanza da O valga 1. Ho imposto quindi $(|a-5b|)/sqrt(a^2+b^2+100b^2)=1$ e il risultato che mi esce è $b=0$ e $b=-5/38a$. Mi escono così due piani $π: a(x+1)=0$ e $σ: a(x+1)-5/38a(y-5)-25/19az=0$ per ogni a. Ora non so se è giusto, perché rimane questa a.
potreste dirmi se procedo bene o male?
Devo trovare l'equazione di due piani $π: ax+by+cz+d=0$ e $σ: a'x+b'y+c'z+d'=0$ tali da essere perpendicolari alla retta di equazione $ { ( x=-1 ),( y=3+2t ),( z=1-t ):} $ e che hanno distanza 1 dal punto O(0,0,0).
Ho fatto così:
Ho trovato il piano che contiene la retta r, trovandomi un punto di r, ad esempio P (-1,5,0), dato che la retta ha equazione cartesiana $ { ( x=-1 ),( y=3-2z+2 ):} $, il vettore direttore della retta è $v=(0,2,-1)$ e quindi il piano $α: 0(x+1)+2(y-5)-1(z-0)=0 => 2y-z-10=0$. Ora il generico piano $π: ax+by+cz+d=0$ deve essere perpendicolare a $α: 2y-z-10=0$ e contenere la retta m, quindi, dato che i parametri direttori di α sono $v=(0,2,-1)$, il piano passante per P è $π: a(x+1)+b(y-5)+cz=0$ e il prodotto vettoriale tra v e v' deve essere uguale a 0, dove v' è il vettore direttore di π, v'(a,-5b,c). Esce $v*v'=0 <=> -10b=c$. Il generico piano π quindi ha equazione $a(x+1)+b(y-5)-10bz=0$. Ora l'ultima condizione è che la distanza da O valga 1. Ho imposto quindi $(|a-5b|)/sqrt(a^2+b^2+100b^2)=1$ e il risultato che mi esce è $b=0$ e $b=-5/38a$. Mi escono così due piani $π: a(x+1)=0$ e $σ: a(x+1)-5/38a(y-5)-25/19az=0$ per ogni a. Ora non so se è giusto, perché rimane questa a.
Risposte
Scusa ma perché non usi semplicemente il fatto che
$(a,b,c)$ è il vettore perpendicolare al piano $ax+by+cz+d=0$ per ogni $d$?
Paola
$(a,b,c)$ è il vettore perpendicolare al piano $ax+by+cz+d=0$ per ogni $d$?
Paola
Quindi il piano perpendicolare alla retta è $2y-1+d=0$? Calcolando la distanza da O viene $|d|/sqrt5=1$ e quindi $d=+-sqrt5$?
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