Trovare endomorfismo tramite nucleo e immagine.

[tommyr22-votailprof]

salve a tutti, non riesco a trovare la matrice associata a questo endomorfismo $f:RR^5-->RR^5$ tale che:
$Ker f ={(x, y, z, t, u) in RR^5 | x - y = t - u = 0 } $ e $Im f = L(0, 0, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 0)$

in pratica mi devo calcolare la matrice associata.Per quanto riguarda il nucleo io so che una sua base è $(1,1,0,0)$ e un'altra è $(0,0,1,1)$
poichè appartengono al nucleo allora avremo che :
$f(1,1,0,0)=(0,0,0,0)$
$f(0,0,1,1)=(0,0,0,0)$
questo per quanto riguarda il kerf.Mentre per l'immgaine di f è giusto così?
$f(0,0,0,1,1)=(a,b,c,d)$ ?

grazie!

[Lorin1]

Allora se fai attenzione, si nota che: avendo l'immagine due vettori nella base allora significa che la $dimImf=2$, invece risolvendo il sistema imposto nelle condizioni del nucleo, ovvero ($x-y=0,t-u=o)$ trovi che le soluzioni sono del tipo $(x,x,z,t,t) : x,z,t in RR$ quindi avendo tre variabili libere la $dimKerf=3$. Tra l'altro questo lo potevi vedere usando il teorema del rango.

Quindi la base del Kerf sarà: $(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1)$ e quindi:

$f(1,1,0,0,0)= (0,0,0,0,0)$
$f(0,0,1,0,0)=(0,0,0,0,0)$
$f(1,1,0,0,0)=(0,0,0,0,0)$

poi due vettori della base dell'Imf li hai, basta che li metti in colonna e ottieni la matrice associata.

[franced]

"Lorin":
...
Quindi la base del Kerf sarà: $(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1)$ e quindi:

$f(1,1,0,0,0)= (0,0,0,0,0)$
$f(0,0,1,0,0)=(0,0,0,0,0)$
$f(1,1,0,0,0)=(0,0,0,0,0)$

poi due vettori della base dell'Imf li hai, basta che li metti in colonna e ottieni la matrice associata.

La terza condizione è sbagliata (è colpa del copia e incolla, credo..);
la condizione corretta è

$f(0,0,0,1,1) = (0,0,0,0,0)$ .

Per quanto riguarda la tua ultima affermazione, fossi in te ci ripenserei un attimo,
dato che la situazione è molto delicata.
Per prima cosa devi estendere la base del nucleo a base di $RR^5$;
una base possibile è la seguente:

$beta = {((1),(1),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(1),(0),(0)) , ((0),(0),(0),(1),(1)) , ((1),(0),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(0),(1),(0))}$

i primi tre vettori stanno nel nucleo, mentre per quanto riguarda gli ultimi due è possibile
definire (attenzione: non c'è un unico endomorfismo con le proprietà volute!!!) le immagini seguenti:

$f((1),(0),(0),(0),(0)) = ((0),(0),(0),(1),(1))$ ; $f((0),(0),(0),(1),(0)) = ((1),(0),(1),(1),(0))$ .

Se svolgi i calcoli trovi la matrice $A$ che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base canonica di $RR^5$
in partenza e in arrivo:

$A = ((0,0,0,1,-1),(0,0,0,0,0),(0,0,0,1,-1),(1,-1,0,1,-1),(1,-1,0,0,0))$ .