Trovare dimensione e base di uno spazio vettoriale
Salve a tutti!
Non riesco a svolgere il seguente esercizio potete dare un occhiata per favore!?
Sia L(W) lo spazio vettoriale generato dalla famiglia W={u1(3,1,2,1) ; u2(3,1,1,-2) ; u3(1,1,0,1) ; u4(-1,-2,1,1) ; u5(2,-3,1,2) ; u6(1,2,0,-1)}; trovare la dimensione e una base di L(W).
Per stabilire la dimensione devo studiare il rango della matrice associata:
R(A)=Dim(L(W))
R(A)<= 4
$((3,1,2,1),(3,1,1,-2),(1,1,0,1),(-1,-2,1,1),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
per studiare il rango la riduco con gauss:
A2 <- a2-a1
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(1,1,0,1),(-1,-2,1,1),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
a3<- a3+a4
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(-1,-2,1,1),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
a4<- a4+a6
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(0,0,1,0),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
a5<-3a5-2a6
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(0,0,1,0),(0,-7,1,4),(1,2,0,-1))$
a6<-3a6-a1
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(0,0,1,0),(0,-7,1,4),(0,5,-2,-2))$
non essendoci vettori linearmente dipendenti Dim(L(W))=4
è giusto il ragionamento?
ora, come faccio a trovare la base?
Vi ringrazio in anticipo!!
Non riesco a svolgere il seguente esercizio potete dare un occhiata per favore!?
Sia L(W) lo spazio vettoriale generato dalla famiglia W={u1(3,1,2,1) ; u2(3,1,1,-2) ; u3(1,1,0,1) ; u4(-1,-2,1,1) ; u5(2,-3,1,2) ; u6(1,2,0,-1)}; trovare la dimensione e una base di L(W).
Per stabilire la dimensione devo studiare il rango della matrice associata:
R(A)=Dim(L(W))
R(A)<= 4
$((3,1,2,1),(3,1,1,-2),(1,1,0,1),(-1,-2,1,1),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
per studiare il rango la riduco con gauss:
A2 <- a2-a1
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(1,1,0,1),(-1,-2,1,1),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
a3<- a3+a4
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(-1,-2,1,1),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
a4<- a4+a6
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(0,0,1,0),(2,-3,1,2),(1,2,0,-1))$
a5<-3a5-2a6
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(0,0,1,0),(0,-7,1,4),(1,2,0,-1))$
a6<-3a6-a1
$((3,1,2,1),(0,0,-1,-3),(0,-1,1,2),(0,0,1,0),(0,-7,1,4),(0,5,-2,-2))$
non essendoci vettori linearmente dipendenti Dim(L(W))=4
è giusto il ragionamento?
ora, come faccio a trovare la base?
Vi ringrazio in anticipo!!
Risposte
Sei sicuro che sia giusto che nella matrice di cui hai calcolato il rango ci siano 5 vettori e non 6?
scusatemi ho corretto!!!! 
Per trovare una base di uno spazio vettoriale di dimensione n ti è sufficiente prendere n vettori (in questo caso $ in RR^4$) linearmente indipendenti , per questo ti chiede "una" base e non "la" base. La cosa "meno fantasiosa" che potresti fare è prendere tra $u_1,...,u_6$ 4 vettori dopo aver verificato che siano linearmente indipendenti: quella sarà una base di $L(W)$.
ok allora rarà la D(L(W))=4 e la base (3,1,2,1);(3,1,1,-2);(1,1,0,1);(-1,-2,1,1)
giusto?
giusto?
Sì, va bene.
Grazie mille!!
Salve,
sto risolvendo lo stesso problema. Per trovare il rango della matrice (e quindi la dimensione dello spazio vettoriale) non dovrei, con Gauss arrivare a una matrice ridotta a scalini?
Io arrivo a questo risultato:
3 1 2 1
0 0 1 2
0 0 0 3
1 1 0 1
2 -3 -1-2
1 2 0 1
ma non riesco a completare il procedimento, cioè ad avere tre zeri sulla quarta riga. Sto sbagliando qualcosa?
Grazie in anticipo
sto risolvendo lo stesso problema. Per trovare il rango della matrice (e quindi la dimensione dello spazio vettoriale) non dovrei, con Gauss arrivare a una matrice ridotta a scalini?
Io arrivo a questo risultato:
3 1 2 1
0 0 1 2
0 0 0 3
1 1 0 1
2 -3 -1-2
1 2 0 1
ma non riesco a completare il procedimento, cioè ad avere tre zeri sulla quarta riga. Sto sbagliando qualcosa?
Grazie in anticipo
scusate ho digitato male l'ultima riga è 1 2 0 -1
Risolto. Era proprio quell' -1 a farmi sbagliare. Scusate Grazie per la pazienza
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