Trovare dim e base di $KerL_a$ e $ImL_a$ di una matrice

[klarence1]

Un esercizio mi chiede di trovare dimensione e base dell'immagine e del nucleo di una applicazione lineare, rappresentata dalla matrice $A$.
Per trovare la dimensione e base dell'immagine della matrice non ho problemi, ma non ho capito come si trova la dimensione del nucleo...

In particolare nell'esercizio c'è una matrice $4x3$. Faccio la ridotta a scalini e risulta che il rango della matrice è $2$. Quindi $2$ è la dimensione dell'immagine. Una base dell' $ImL_a$ sono le colonne, nella matrice A, corrispondenti alle colonne della ridotta a scalini che hanno il pivot.
Ora come faccio a calcolare la dimensione e una base del $KerL_a$ ?

[in_me_i_trust]

Se $T(x)=Ax$ è l'applicazione lineare scritta nella base canonica allora il $Ker T$ è definito come

$Ker T={x:T(x)=0}$

Quindi devi semplicemente studiare

$Ax=0$

Dal teorema della dimensione ti devi aspettare che la soluzione di questo sistema abbia dimensione 1 nel tuo caso.

[fu^2]

"klarence":Un esercizio mi chiede di trovare dimensione e base dell'immagine e del nucleo di una applicazione lineare, rappresentata dalla matrice $A$.
Per trovare la dimensione e base dell'immagine della matrice non ho problemi, ma non ho capito come si trova la dimensione del nucleo...

In particolare nell'esercizio c'è una matrice $4x3$. Faccio la ridotta a scalini e risulta che il rango della matrice è $2$. Quindi $2$ è la dimensione dell'immagine. Una base dell' $ImL_a$ sono le colonne, nella matrice A, corrispondenti alle colonne della ridotta a scalini che hanno il pivot.
Ora come faccio a calcolare la dimensione e una base del $KerL_a$ ?

teorema del rango:

$dimIm_(L_a)+dimKer_(L_a)=dimV$, dove V è lo spazio vettoriale di partenza dell'applicazione lineare associata $L_a:V->W$. da qui trovi l'immagine, se la matrica è 4 colonne, 3 righe allora lo spazio di partenza ha dimensione 4 (quattro incognite...), quindi trovi il dimker.

la base del ker la trovi risolvendo il sistema omogeneo associato, (in quanto per def il ker "butta tutto in zero") da li tiri fuori le eqauzioni cartesiane, poi le riconduci a quelle parametriche e li hai trovato la base.

[in_me_i_trust]

Io con $4x3$ intendo 4 righe e 3 colonne ma se è come dice fu^2 allora la dimensione del Ker non sarà 1 ma sarà..