Trovare coord. di un vettore rispetto ad una base qualsiasi
Ciao a tutti,
studiando mi è sorto un dubbio (o forse sono io che sono un pò duro di testa), su come trovare le coordinate di un vettore rispetto ad una base.
So che se la base è ortonormale $ ( ( ),( ),( ) ) $.
Se invece abbiamo per esempio il vettore v(2,3) per trovare le sue coordinate rispetto a B=((1,0),(0,1)) facciamo nel seguente modo: a(1,0)+b(0,1)=(2,3) e poi poniamo a sistema.
Ma in generale come si fa a determinare le coordinate rispetto ad una base qualsiasi.
Per esempio abbiamo v=(2,-1,8,-7) e la base è W=[(1,2,-1,4),(0,1,-2,3)]
Spero sia stato chiaro:P Grazie a tutti
studiando mi è sorto un dubbio (o forse sono io che sono un pò duro di testa), su come trovare le coordinate di un vettore rispetto ad una base.
So che se la base è ortonormale $ ( (
Se invece abbiamo per esempio il vettore v(2,3) per trovare le sue coordinate rispetto a B=((1,0),(0,1)) facciamo nel seguente modo: a(1,0)+b(0,1)=(2,3) e poi poniamo a sistema.
Ma in generale come si fa a determinare le coordinate rispetto ad una base qualsiasi.
Per esempio abbiamo v=(2,-1,8,-7) e la base è W=[(1,2,-1,4),(0,1,-2,3)]
Spero sia stato chiaro:P Grazie a tutti
Risposte
Se dici
di avere un vettore $(2,3)$, quelle
sono già coordinate rispetto una qualche base.
Per avere le coordinate dello
stesso vettore in un'altra base...
ti dico come ragionavo quando studiavo geometria.
In $RR^1$ (sic!) la mia
base può essere $(1)$, che è
la base canonica in $RR^1$.
Così il vettore $2$ ha coordinate, in quella base, $2$.
Se cambio di base, passando da $(1)$ e $(3)$ (per
esempio), come cambiano le coordinate?
La nuova coordinata è $(2/3)$ -moltiplico a sinistra la vecchia coordinata con
la matrice inversa della matrice
che ammette come colonne le coordinate, nella vecchia base, dei vettori della nuova base:
Questa è $(3)$. La sua inversa è $(1/3)$.
Così la nuova coordinata è $(1/3)(2)=(2/3)$.
-
quella che scrivi non è una base di $RR^4$ -devono
essere 4! vettori linearmente indipendenti.
Non so, forse la hai come base di un sottospazio vettoriale.
-
Per cui, ripeto.
Se dici $M$ la matrice
delle coordinate dei vettori della tua nuova base espresse rispetto alla vecchia, la
matrice di cambiamento di coordinate sarà $M^(-1)$.
Le coordinate $v*$ nella
nuova base di un vettore che aveva coordinate $v$ nella vecchia
sarnno perciò:
$v*=M^(-1)v$.
di avere un vettore $(2,3)$, quelle
sono già coordinate rispetto una qualche base.
Per avere le coordinate dello
stesso vettore in un'altra base...
ti dico come ragionavo quando studiavo geometria.
In $RR^1$ (sic!) la mia
base può essere $(1)$, che è
la base canonica in $RR^1$.
Così il vettore $2$ ha coordinate, in quella base, $2$.
Se cambio di base, passando da $(1)$ e $(3)$ (per
esempio), come cambiano le coordinate?
La nuova coordinata è $(2/3)$ -moltiplico a sinistra la vecchia coordinata con
la matrice inversa della matrice
che ammette come colonne le coordinate, nella vecchia base, dei vettori della nuova base:
Questa è $(3)$. La sua inversa è $(1/3)$.
Così la nuova coordinata è $(1/3)(2)=(2/3)$.
-
quella che scrivi non è una base di $RR^4$ -devono
essere 4! vettori linearmente indipendenti.
Non so, forse la hai come base di un sottospazio vettoriale.
-
Per cui, ripeto.
Se dici $M$ la matrice
delle coordinate dei vettori della tua nuova base espresse rispetto alla vecchia, la
matrice di cambiamento di coordinate sarà $M^(-1)$.
Le coordinate $v*$ nella
nuova base di un vettore che aveva coordinate $v$ nella vecchia
sarnno perciò:
$v*=M^(-1)v$.
La risposta di orazioster è giusta posto anche quest'altro metodo supponiamo di avere un vettore v appartenente allo spazio $R^3$
$v=(2,-6,1)$ e sia $B=(f1,f2,f3)$ una base di $R^3$ dove $f1(1,0,2)$ $f2(2,-1,0)$ $f3(-2,1,3)$ allora v nella nuova base si esprimerà come: $v=af1+bf2+cf3$
e quindi viene il sistema
$a+2b-2c=2 $
$-b+c=-6$
$2a+3c=1$
a=-10 b=13 c=7
Come diceva anche orazioster devi stare attento perchè se sei in $R^4$ devi aver una base formata da 4 vettori e non da due.
l'esercizio puo essere svolto anche con il metodo di orazioster è uguale .
$v=(2,-6,1)$ e sia $B=(f1,f2,f3)$ una base di $R^3$ dove $f1(1,0,2)$ $f2(2,-1,0)$ $f3(-2,1,3)$ allora v nella nuova base si esprimerà come: $v=af1+bf2+cf3$
e quindi viene il sistema
$a+2b-2c=2 $
$-b+c=-6$
$2a+3c=1$
a=-10 b=13 c=7
Come diceva anche orazioster devi stare attento perchè se sei in $R^4$ devi aver una base formata da 4 vettori e non da due.
l'esercizio puo essere svolto anche con il metodo di orazioster è uguale .
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