Trovare basi per nucleo e Immagine?
come esercizio mi hanno dato due matrici:
A = \$((2,-1,1),(0,-2,-2),(3,-2,1))\$
B= \$((3,4,-1),(2,0,2),(1,2,-1))\$
mi chiede: trovare una base del Ker(A) e una per Im(A) e Im(B)
so che la dimensione dell'immagine è il numero di colonne linearmente indipendenti (anche se non so perchè
)
ma non ho idea di come svolgere l'esercizio.
A = \$((2,-1,1),(0,-2,-2),(3,-2,1))\$
B= \$((3,4,-1),(2,0,2),(1,2,-1))\$
mi chiede: trovare una base del Ker(A) e una per Im(A) e Im(B)
so che la dimensione dell'immagine è il numero di colonne linearmente indipendenti (anche se non so perchè
)ma non ho idea di come svolgere l'esercizio.
Risposte
Ciao, partiamo dalla base del Ker. Riscrivo la matrice: $A=((2, -1, 1), (0, -2, -2), (3, -2, 1))$.
Si sa che il nucleo è l'insieme dei vettori che hanno come immagine il vettore nullo, quindi per trovare il Ker si dovrà risolvere il sistema omogeneo che ha come matrice dei coefficienti $A$.
Riduciamola con Gauss e troviamo $((2, -1, 1), (0, -2, -2), (0, -1/2, -1/2)) rarr ((2, -1, 1), (0, -2, -2), (0, 0, 0))$.
A questo punto è evidente che il rango della matrice è due, quindi la soluzione dipenderà da un parametro (nel nostro caso la terza colonna). Procedendo come al solito nei sistemi lineari si trova ${(x=-z), (y=-z), (z=z):}$ quindi il vettore delle soluzioni è $((-z), (-z), (z)) = z((-1), (-1), (1))$.
Si può concludere che $((-1), (-1), (1))$ è una base del Ker.
Tutto chiaro fin qui?
Si sa che il nucleo è l'insieme dei vettori che hanno come immagine il vettore nullo, quindi per trovare il Ker si dovrà risolvere il sistema omogeneo che ha come matrice dei coefficienti $A$.
Riduciamola con Gauss e troviamo $((2, -1, 1), (0, -2, -2), (0, -1/2, -1/2)) rarr ((2, -1, 1), (0, -2, -2), (0, 0, 0))$.
A questo punto è evidente che il rango della matrice è due, quindi la soluzione dipenderà da un parametro (nel nostro caso la terza colonna). Procedendo come al solito nei sistemi lineari si trova ${(x=-z), (y=-z), (z=z):}$ quindi il vettore delle soluzioni è $((-z), (-z), (z)) = z((-1), (-1), (1))$.
Si può concludere che $((-1), (-1), (1))$ è una base del Ker.
Tutto chiaro fin qui?
chiarissimo!!!
"rodush":
chiarissimo!!!
Bene! Allora provo a spiegarti anche l'immagine. I vettori del sottospazio immagine sono tutti quei vettori che possono essere raggiunti seguendo la legge dell'applicazione, cioè sono tutti i vettori che sono immagine (appunto) di un qualche vettore.
Per trovare questo sottospazio dobbiamo definire il sistema ${(2x-y+z=alpha), (-2y-2z=beta), (3x-2y+z=gamma):}$ e capire quali triplette $((alpha), (beta), (gamma))$ rendono questo sistema risolvibile. Quindi la domanda è: "quali vettori potrei utilizzare come colonne dei termini noti per poi trovare un vettore di provenienza?"
Abbiamo già detto che il rango della matrice incompleta è $2$, quindi se vogliamo che il sistema sia risolvibile dobbiamo imporre che anche il rango della completa sia $2$. Nella matrice $((2, -1, 1), (0, -2, -2), (3, -2, 1))$ un possibile minore che determina il rango è $((2, -1), (0, -2))$. A questo punto lo orlo con elementi della terza riga e della quarta colonna (quella dei termini noti) ottenendo $((2, -1, alpha), (0, -2, beta), (3, -2, gamma))$. Non vogliamo che sia invertibile (altrimenti il rango sarebbe $3$, diverso da quello dell'incompleta), quindi calcoliamo il suo determinante e lo poniamo uguale a zero.
Otteniamo $6alpha + beta - 4gamma = 0 -> beta = -6alpha + 4gamma$. Quindi la soluzione è $((alpha), (-6alpha + 4gamma), (gamma)) = alpha((1), (-6), (0)) + gamma ((0), (4), (1))$. Si può quindi concludere che ${((1), (-6), (0)), ((0), (4), (1))}$ è una base dell'immagine.
Come andiamo?
non so orlare le matrici,è un argomento che ha saltato, e no ho capito il discorso sui ranghi, ma se assumo per "calato dal cielo" il fatto che il rango della matrice orlata dev'essere 2 il resto del ragionamento mi è chiaro.
dunque praticamente elimino dalla matrice di partenza la colonna dipendente dalle altre e la sostituisco con quella di termini noti, poi impongo il rango della nuova matrice 3x3 uguale a quello di partenza, cioè 2 e concludo.
e se il rango della mtrice di partenza fosse stato 3??
dunque praticamente elimino dalla matrice di partenza la colonna dipendente dalle altre e la sostituisco con quella di termini noti, poi impongo il rango della nuova matrice 3x3 uguale a quello di partenza, cioè 2 e concludo.
e se il rango della mtrice di partenza fosse stato 3??
"rodush":
se assumo per "calato dal cielo" il fatto che il rango della matrice orlata dev'essere 2 il resto del ragionamento mi è chiaro.
Il rango dell'orlata deve essere $2$ per il teorema di Rouchè-Capelli che afferma che un sistema è risolvibile se e solo se il rango dell'incompleta e quello della completa sono uguali.
"rodush":
dunque praticamente elimino dalla matrice di partenza la colonna dipendente dalle altre e la sostituisco con quella di termini noti
Sì e no... nel senso che effettivamente è quello che è successo, anche se il procedimento è proprio quello di costruzione del minore orlato. Ad esempio se prendi una matrice $5xx5$ non puoi più ragionare così per colonne.
"rodush":
e se il rango della mtrice di partenza fosse stato 3??
In questo caso il sistema avrebbe avuto soluzione unica (non dipendente da alcun parametro) poichè $3$ è il rango massimo possibile sia per l'incompleta che per la completa.
si ma se il rango fosse 3 cme risolverei il sistema?
"rodush":
si ma se il rango fosse 3 cme risolverei il sistema?
Con Cramer o con la riduzione in forma triangolare.
ma se trovo un'unica soluzine la dimensione del'immagine sarebbe 1 mentre dovrebbe essere 3...
"rodush":
ma se trovo un'unica soluzine la dimensione del'immagine sarebbe 1 mentre dovrebbe essere 3...
ma infatti era un'ipotesi che hai fatto tu...
"rodush":
si ma se il rango fosse 3 cme risolverei il sistema?
In questo esercizio abbiamo visto come trovare la base dell'immagine con quel sistema con $alpha, beta, gamma$.
"rodush":
ma se trovo un'unica soluzine la dimensione del'immagine sarebbe 1 mentre dovrebbe essere 3...
Ah una cosa... se la soluzione è unica la dimensione è 0.
boh, si... non ho capito bene come si ragiona con una matrice 3x3 di rango massimo, ma per adesso fa niente!!
grazie della disponibilità e della chiarezza!!
grazie della disponibilità e della chiarezza!!
"rodush":
boh, si... non ho capito bene come si ragiona con una matrice 3x3 di rango massimo, ma per adesso fa niente!!
grazie della disponibilità e della chiarezza!!
Di niente! Se hai altri dubbi posta pure.
PS. Prova a trovare una base dell'immagine dell'altra, poi vediamo come ti viene
l'immagine dell'altra mi è venuta, con questo sistema è solo saper far di conto.
l'esercizio prosegue chiedendomi se Im(A)+Im(B)= Im(A+B) e se Im(A) \$nn\$ Im(B)= Im(A-B)
l'immagine di A+B la trovo con lo stesso sistema poichè la matrice ha una colonna di tutti zeri, non ho idea di come fare Im(A)+Im(B)
l'esercizio prosegue chiedendomi se Im(A)+Im(B)= Im(A+B) e se Im(A) \$nn\$ Im(B)= Im(A-B)
l'immagine di A+B la trovo con lo stesso sistema poichè la matrice ha una colonna di tutti zeri, non ho idea di come fare Im(A)+Im(B)
cioè, la base dello spazio della somma delle due matrici è l'immagine di una matrice quindi posso re-iterare il procedimento di prima, ma come faccio a trovare una base della somma delle due immagini?
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