Trovare base ortonormale

[giannitwo]

Ciao ragazzi,
Ho un esercizio che recita:
"Sia W il sottospazio di R3 generato dal vettore (1,0,0). Costruire una base ortonormale del complemento ortogonale di W rispetto al prodotto scalare f"
$ f((x,y,z);(x',y',z'))= x*x'+3yy'+2zz'+xz'+zx' $
Verifico che è un prodotto scalare e lo è..
poi dico: completo la base $ B={(1,0,0)}$ in una base di R3: $B'={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
e applico Gram-Smith..trovo una base ortonormale a questa e poi normalizzo:
mi vien fuori:
$C={(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,1)}$
che normalizzato..
$C'={(1,0,0),(0,1/sqrt(3),0),(-1,0,1)} $
secondo voi ho fatto bene? io ho qualche dubbio..la matrice di Gram associata rispetto alla base ortonormale dovrebbe essere l'identità, ma se io faccio
${: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1/sqrt(3) , 0 ),( -1 , 0 , 1 ) :} $
Per la trasposta (le cui colonne sono i vettori di C') non mi torna!

In particolare ho un dubbio sul fatto di completare la base B! devo farlo?

[g.longhi]

"giannitwo":Ciao ragazzi,
Ho un esercizio che recita:
"Sia W il sottospazio di R3 generato dal vettore (1,0,0). Costruire una base ortonormale del complemento ortogonale di W rispetto al prodotto scalare f"
$ f((x,y,z);(x',y',z'))= x*x'+3yy'+2zz'+xz'+zx' $
Verifico che è un prodotto scalare e lo è..

Ok, $W = L(1,0,0)$, cominciamo col trovare $W^C$ rispetto al prodotto scalare $f$.

Scriviamo la matrice associata canonicamente al prodotto scalare: $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 ,3 , 0 ),( 1 , 0, 2 ) ) $

Ora devi risolvere il sistema: $ ( ( 1 , 0 , 0 ) ) xx ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 ,3 , 0 ),( 1 , 0, 2 ) ) xx ( ( x ),( y ),( z ) ) =0 $

Esegui il primo prodotto $ ( ( 1 , 0 , 1) ) xx ( ( x ),( y ),( z ) ) = 0$

Da cui $W^C = L(0,1,0)$.

Il complemento ortogonale è formato da un solo vettore di norma 1, quindi è già ortonormale.