Triangolo come insieme convesso ...

[menale1]

Cari ragazzi c'è un esercizio su cui sono leggermente in dubbio -
Mi vien chiesto di dimostrare che il triangolo è in generale un insieme convesso . IO ho pensato di seguire questo ragionamento : prendo due punti generici della struttura insiemistica descritta dal triangolo e considero il segmento passante per questi due punti nel tentativo di dimostrare che tutti i punti di questo segmento sono interni al triangolo . Che ne dite ?
Avete qualche alternativa a questa mia dimostrazione ?

P.S. Quando parlo di struttura insiemistica del triangolo intendo :
$ {A+t(B-A)+s(C-A) : 0leq t+sleq 1 : t,s geq 0 } $ .
Saluti !!

[menale1]

Chiedo venia per l'ignoranza : ma cosa intendi per geometria sintetica ?

[dissonance]

Senti, non mi fare dire fesserie perché non mi ricordo bene le definizioni. Intendo "il contrario della geometria analitica". Ovvero, la geometria euclidea piana fatta secondo i postulati di Euclide e non introducendo sistemi di coordinate. Nel caso precedente, ad esempio, la proposizione "il triangolo è un insieme convesso" è dimostrata per via sintetica osservando che esso è intersezione di tre iperpiani. Alternativamente, la dimostrazione analitica prevede di identificare il triangolo ad un certo sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\) e mostrare che esso è chiuso rispetto alle combinazioni convesse.

[Mrhaha]

"dissonance":Qui puoi passare dall'espressione analitica del triangolo. Prova a scriverla e poi prova a scrivere l'espressione analitica dell'inviluppo convesso di \(\{A, B, C\}\)..

Scusate l'ignoranza ma qual è l'inviluppo convesso di $A,B,C$?

[menale1]

Questo sottoinsieme di $ RR ^2 $ come lo identifico ??? mmm

[dissonance]

E' facile descrivere analiticamente l'inviluppo convesso di un insieme finito di punti. Basta prendere l'insieme di tutte le combinazioni convesse. Prova a farlo.

[menale1]

Ok , ci provo e ti fo sapere !

[gugo82]

Un po' più in generale:

Assegnata una famiglia di punti \(X\) in uno spazio vettoriale \(\mathbb{V}\), l'insieme:
\[
\text{conv} X:=\bigcap_{C\supseteq X,\ C\text{ convesso}} C
\]
si chiama inviluppo (o copertura, o guscio) convesso di \(X\): esso è il più piccolo (rispetto alla relazione d'ordine \(\subseteq\) in \(\mathcal{P} (\mathbb{V})\)) insieme convesso contenente \(X\).
Mostrare che \(\text{conv} X\) coincide con l'insieme delle combinazioni convesse dei punti di \(X\), ossia che:
\[
x\in \text{conv} X \qquad \Leftrightarrow \qquad \exists N\in \mathbb{N},\ \exists x_1,\ldots ,x_N\in X,\ \exists \lambda_1,\ldots ,\lambda_N \in [0,1]:\ \sum_{n=1}^N\lambda_n=1\ \text{e}\ x=\sum_{n=1}^N \lambda_n x_n\; .
\]

Fatto ciò, è immediato notare che il "triangolo" definito come in apertura di thread non è altro che la copertura convessa di \(\{A,B,C\}\).

[menale1]

Grazie per la precisazione , gugo82 ! Ora formalizzo il tutto secondo queste dritte...