Triangolo come insieme convesso ...
Cari ragazzi c'è un esercizio su cui sono leggermente in dubbio -
Mi vien chiesto di dimostrare che il triangolo è in generale un insieme convesso . IO ho pensato di seguire questo ragionamento : prendo due punti generici della struttura insiemistica descritta dal triangolo e considero il segmento passante per questi due punti nel tentativo di dimostrare che tutti i punti di questo segmento sono interni al triangolo . Che ne dite ?
Avete qualche alternativa a questa mia dimostrazione ?
P.S. Quando parlo di struttura insiemistica del triangolo intendo :
$ {A+t(B-A)+s(C-A) : 0leq t+sleq 1 : t,s geq 0 } $ .
Saluti !!
Mi vien chiesto di dimostrare che il triangolo è in generale un insieme convesso . IO ho pensato di seguire questo ragionamento : prendo due punti generici della struttura insiemistica descritta dal triangolo e considero il segmento passante per questi due punti nel tentativo di dimostrare che tutti i punti di questo segmento sono interni al triangolo . Che ne dite ?
Avete qualche alternativa a questa mia dimostrazione ?
P.S. Quando parlo di struttura insiemistica del triangolo intendo :
$ {A+t(B-A)+s(C-A) : 0leq t+sleq 1 : t,s geq 0 } $ .
Saluti !!
Risposte
L'insieme intersezione di insiemi convessi dovrebbe essere un insieme convesso. Quindi, se consideri il triangolo come intersezione di $3$ semipiani, mi sembra più immediato.
Tale proprietà è stabile , sempre , rispetto all'intersezione ?
Per l'intersezione finita, la dimostrazione non dovrebbe presentare particolari difficoltà. Per l'intersezione infinita, preferirei non cimentarmi.
A meno di mie sviste, non dovrebbe essere difficile neppure nel caso infinito.
"Richard_Dedekind":
A meno di mie sviste, non dovrebbe essere difficile neppure nel caso infinito.
Probabilmente hai ragione. Non ricordo più come impostare rigorosamente il "salto", sempre che sia necessario.
Ma guarda, potrei sbagliarmi di grosso, però farei così:
Consideriamo una famiglia \(\{C_i\,|\, i\in I \} \) di convessi e sia
\[C=\bigcap_{i\in I} C_i\]
Se prendiamo \(x_1,x_2\in C\}\), per definizione \(x_1,x_2\in C_i\) per ogni \(i\in I\). Dall'ipotesi di convessità segue che anche \((1-\lambda)x_1+\lambda x_2\in C_i\) per ogni \(i\in I\) quando \(\lambda \in [0,1]\subseteq \mathbb{R}\). Poiché ciò vale per ogni indice \(i\), si è trovato che l'inviluppo convesso \((1-\lambda)x_1+\lambda x_2\in C\).
Consideriamo una famiglia \(\{C_i\,|\, i\in I \} \) di convessi e sia
\[C=\bigcap_{i\in I} C_i\]
Se prendiamo \(x_1,x_2\in C\}\), per definizione \(x_1,x_2\in C_i\) per ogni \(i\in I\). Dall'ipotesi di convessità segue che anche \((1-\lambda)x_1+\lambda x_2\in C_i\) per ogni \(i\in I\) quando \(\lambda \in [0,1]\subseteq \mathbb{R}\). Poiché ciò vale per ogni indice \(i\), si è trovato che l'inviluppo convesso \((1-\lambda)x_1+\lambda x_2\in C\).
Certo, hai proceduto come si farebbe con l'intersezione finita. Onestamente, non saprei se, per essere assolutamente rigorosi, siano necessarie considerazioni aggiuntive. Ma probabilmente è sufficiente così.
"speculor":
Certo, hai proceduto come si farebbe con l'intersezione finita. Onestamente, non saprei se, per essere assolutamente rigorosi, siano necessarie considerazioni aggiuntive. Ma probabilmente è sufficiente così.
Codesto è anche il mio dubbio. In effetti non si richiedono particolari proprietà dell'insieme di indici \(I\) nella dimostrazione e mi pare di ricordare che fosse specificata la valenza anche per famiglie infinite. Non so però in che misura l'indicizzare tale famiglia possa causare guai e problemi di tipo logico.
Guarda, sono talmente curioso che vado a postare in Analisi. A presto. 
Grazie per l'impegno e la partecipazione , ragazzi !
Io confermo che la dimostrazione fatta da Richard Dedekind funziona a prescindere dalla cardinalità di \(I\). Ovvero, anche l'intersezione di una famiglia infinita di insiemi convessi è essa stessa convessa. Questo fatto ha importanza in analisi funzionale. Ad esempio, ne è una diretta conseguenza il fatto che un sottoinsieme convesso e chiuso di uno spazio di Banach è anche debolmente chiuso.
Ok. Grazie dissonance.
Grazie anche da parte mia!!
Scusate ragazzi,io questa dimostrazione l'ho fatta nel modo più semplice possibile! L'ho fatto dimostranzo che un qualunque segmento che collega due qualsiasi punti del triangolo è contenuto nel triangolo, non va bene?
Va bene sì, è la definizione di insieme convesso. Solo che algebricamente risulta un po' ostico di solito.
E' vero! Una marea di calcoli!
Quoto , Mrhah , anche io ho fatto la dimostrazione secondo questo schema . MA voglio andare oltre e provare le vostre idee !
Concordo! Bisogna sempre conoscere! 
Ragazzi , vi propongo un altro step : se volessimo dimostrare che il triangolo è il più piccolo insieme convesso che contiene i punti ABC attraverso i quali è definito , in qual modo procedereste ? Nel mentre ci rifletto anche io !
Qui puoi passare dall'espressione analitica del triangolo. Prova a scriverla e poi prova a scrivere l'espressione analitica dell'inviluppo convesso di \(\{A, B, C\}\). Vedrai che sono uguali.
Si può anche procedere con metodi di geometria sintetica di sicuro, però ti confesso che in questo momento non mi viene in mente niente.
Si può anche procedere con metodi di geometria sintetica di sicuro, però ti confesso che in questo momento non mi viene in mente niente.
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