Triangolo autopolare

[Benihime1]

buongiorno a tutti.
Ho un fascio di coniche con ciclo base formato da 2 punti doppi $P_1,P_2$
sia $C_1$ una conica non degenere del fascio, e sia $C_2=P_1 vv P_2$
siano $Q_1,Q_2,Q_3$ i vertici di triangolo autopolare per $C_1$, con $Q_1= text{polo di }(P_1 vv P_2)$
Voglio mostrare che $Q_1,Q_2,Q_3$ sono vertici di triangolo autopolare anche per $C_2$

La dimostrazione che ho io dice che i punti $Q_2,Q_3$ sono coniugati a ogni altro punto del piano rispetto a $C_2$ (perchè?) e dunque $Q_1,Q_2,Q_3$ sono triangolo autopolare anche per $C_2$ (perchè?)

Mi aiutate a capire il perchè di queste affermazioni?

[Sk_Anonymous]

Il ragionamento è complesso...
La polare di $Q_1$, rispetto a $C_1$, per ipotesi è proprio la retta $P_1P_2$ e dunque, dato che $P_1,P_2$, appartengono a $C_1$, ne segue che le tangenti a $C_1$ ( che in figura è rappresentata come una circonferenza), condotte da $Q_1$, sono le rette $Q_1P_1,Q_1P_2$ (vedi fig.).
Costruiamo ora un triangolo autopolare rispetto a $C_1$ e che abbia un vertice in $Q_1$.
A tale scopo mandiamo da $Q_1$ due rette che tagliano la $C_1$ rispettivamente nei punti $A,D$ e $B,C$. Il quadrilatero completo ABCD è dunque inscritto nella conica $C_1$ e pertanto il triangolo $Q_1Q_2Q_3$, che ha per vertici le intersezioni delle 3 coppie di lati opposti di ABCD, ovvero $(AD,BC),(AB,CD),(AC,BD)$, è, come noto, autopolare rispetto a $C_1$ ( ha cioè come polari dei suoi vertici le rette dei lati opposti a ciascuno di essi). Abbiamo così generato il triangolo$Q_1Q_2Q_3$, autopolare rispetto a $ C_1$. Ci resta da dimostrare che detto triangolo è autopolare anche rispetto alla conica $C_2$.
Iniziamo col dire che, per quanto precede, la polare di $Q_1$ ,rispetto a $C_1$, è la retta $Q_2Q_3$ e deve coincidere quindi con la retta $P_1P_2$. Il risultato è che i punti $Q_2,Q_3,P_1,P_2$ sono tutti sulla medesima retta, così come indicato in figura.
D'altra parte, poiché per ipotesi $P_1,P_2$ sono punti doppi, la conica $C_2$ si spezza nella retta $P_1P_2$ contata due volte e se l'equazione cartesiana di $P_1P_2$ è $ax+by+c=0$ allora l'equazione di $C_2$ sarà:
$(ax+by+c)^2=0$
Se $P(x_o,y_o,t_o)$ è, in coordinate proiettive, il generico punto del piano, la sua polare rispetto a $C_2$ avrà equazione :
\(\displaystyle (x_o,y_o,t_o)\begin{pmatrix}a^2&ab&ac\\ab&b^2&bc\\ac&bc&c^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\t\end{pmatrix}=0 \)
Con qualche calcolo l'equazione si riduce a :
(1) $ (ax_o +by_o +ct_o) (ax+by+ct)=0$
Pertanto se P non appartiene a $C_2$, ovvero se è $(ax_o +by_o +ct_o) ne 0$, allora la (1) diventa :
$ax+by+ct=0$
e quindi la polare coincide con la retta $P_1P_2$ o ciò che è lo stesso con la retta $Q_2Q_3$
Se invece P appartiene a $C_2$, ovvero è $(ax_o +by_o +ct_o) =0 $, allora la (1) diventa indeterminata. Questo significa che qualunque retta del piano della conica è la polare di P ( o equivalentemente che P è coniugato di tutti i punti del piano) .
Applicando queste conclusioni al triangolo $Q_1Q_2Q_3$ abbiamo che :
1) Essendo $Q_1$ fuori di $C_2$ la sua polare è proprio la retta $Q_2Q_3$
2) Essendo $Q_2$ su $C_2$ la sua polare è indeterminata, ovvero coincide con tutte le rette del piano della conica e in particolare con la retta $Q_1Q_3$
3) Essendo $Q_3$ su $C_2$ la sua polare è indeterminata, ovvero coincide con tutte le rette del piano della conica e in particolare con la retta $Q_1Q_2$
In conclusione il triangolo $Q_1Q_2Q_3$ è autopolare anche rispetto alla conica $C_2$
Q.E.D.

[Benihime1]

vacca gigi che cosa lunga
comunque tutto chiarissimo
grazie mille,gentilissimo