Tre vertici consecutivi di un parallelogramma
Nell'esercizio che adesso descrivo bisogna trovare area e altezza di un parallelogramma avendo tre vertici di coordinate
$ A = (1, 3, -1), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 3) $.
Per calcolare l'area l'unica cosa che mi viene in mente e calcolare il prodotto vettoriale tra il vettore AB e il vettore BC e poi prendere il modulo. L'unica cosa e che riesco a ricavarmi i vettori.
Un modo che penso sia corretto e quello di calcolare la distanza di A da B e quello di B da C ma non conosco l'angolo $ A\hat{B}D $. quindi non conosco il prodotto vettoriale.
Inoltre conoscendo l'area del parallelogramma si può ricavare l'altezza conoscendo la base (il vettore AB) con la formula:
$ A = bh $ Come si può procedere ?
$ A = (1, 3, -1), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 3) $.
Per calcolare l'area l'unica cosa che mi viene in mente e calcolare il prodotto vettoriale tra il vettore AB e il vettore BC e poi prendere il modulo. L'unica cosa e che riesco a ricavarmi i vettori.
Un modo che penso sia corretto e quello di calcolare la distanza di A da B e quello di B da C ma non conosco l'angolo $ A\hat{B}D $. quindi non conosco il prodotto vettoriale.
Inoltre conoscendo l'area del parallelogramma si può ricavare l'altezza conoscendo la base (il vettore AB) con la formula:
$ A = bh $ Come si può procedere ?
Risposte
Avendo tre vertici consecutivi del parallelogramma puoi trovarti il vettore della base ed il vettore dell'altro lato.
Prendendo come base AB il vettore che riguarda AB è dato dalla differenza di B -A. Per la corrispondenza tra $ RR^3 $ e lo spazio dei vettori liberi un vettore applicato in O che ha il secondo estremo in B è per definizione B stesso (0,1,1). Se provi graficamente a disegnarli vedrai che il vettore AB è dato dalla differenza del vettore OB - OA (spero di essermi spiegato).
Quindi trovi B-A che risulta uguale a $ -i-2j+2k $ ed il cui modulo (la base) è 3.
L'altro vettore che ti serve è quindi il vettore CB che è dato da OC-OB e che quindi è $ i+2k $ .
A questo punto puoi trovare l'area che non è altro che il modulo del prodotto vettoriale dei vettori AB e CB cioè $ |-4i+4j+2k|=6 $ .
L'Area è quindi 6 e l'altezza non è altro che area/base= 2.
La risposta corretta è quindi la 3) h=6,k=2
ps: Anch'io sono seguo il corso di geometria e algebra lineare a firenze del verdiani.
Prendendo come base AB il vettore che riguarda AB è dato dalla differenza di B -A. Per la corrispondenza tra $ RR^3 $ e lo spazio dei vettori liberi un vettore applicato in O che ha il secondo estremo in B è per definizione B stesso (0,1,1). Se provi graficamente a disegnarli vedrai che il vettore AB è dato dalla differenza del vettore OB - OA (spero di essermi spiegato).
Quindi trovi B-A che risulta uguale a $ -i-2j+2k $ ed il cui modulo (la base) è 3.
L'altro vettore che ti serve è quindi il vettore CB che è dato da OC-OB e che quindi è $ i+2k $ .
A questo punto puoi trovare l'area che non è altro che il modulo del prodotto vettoriale dei vettori AB e CB cioè $ |-4i+4j+2k|=6 $ .
L'Area è quindi 6 e l'altezza non è altro che area/base= 2.
La risposta corretta è quindi la 3) h=6,k=2
ps: Anch'io sono seguo il corso di geometria e algebra lineare a firenze del verdiani.
Perfetto grazie 
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