Tre sfere tangenti a due a due: gruppo fondamentale
L'esercizio chiede di calcolare il gruppo fondamentale dell'unione di tre 2-sfere tangenti a due a due nello stesso piano equatoriale (immaginatele messe a triangolo), che chiameremo $X$.
Utilizzando Van Kampen abbiamo consideration come aperti $U$ l'unione di tre emisferi boreali aperti "abbondanti", cioè contenenti il diamentro equatoriale piú una striscia dell'altro emisfero (spero mi abbiate capito), e $V$ stessa cosa solo con emisfero australi. Possiamo retrarre $U$ e $V$ ad un triangolo con lati curvilinei, il quale sappiamo essere isomorfo a $S^1$. Il problema è l'intersezione (che si può retrarre all'unione di tre circonverenze tangenti a due a due), il professore aggiunge un segmento, la domanda mia è questa: se aggiungo uno spazio topologico semplicemente connesso ad un altro spazio topologico, il gruppo fondamentale di quest'ultimo non cambia? Questo giustificherebbe perché ha potuto aggiungere quel segmento a piacere.
P.S. Non ho seguito questo semestre per motivi personali, ecco perché sto tempestando il forum di domande. Quindi chiedo venia e aiuto.
Utilizzando Van Kampen abbiamo consideration come aperti $U$ l'unione di tre emisferi boreali aperti "abbondanti", cioè contenenti il diamentro equatoriale piú una striscia dell'altro emisfero (spero mi abbiate capito), e $V$ stessa cosa solo con emisfero australi. Possiamo retrarre $U$ e $V$ ad un triangolo con lati curvilinei, il quale sappiamo essere isomorfo a $S^1$. Il problema è l'intersezione (che si può retrarre all'unione di tre circonverenze tangenti a due a due), il professore aggiunge un segmento, la domanda mia è questa: se aggiungo uno spazio topologico semplicemente connesso ad un altro spazio topologico, il gruppo fondamentale di quest'ultimo non cambia? Questo giustificherebbe perché ha potuto aggiungere quel segmento a piacere.
P.S. Non ho seguito questo semestre per motivi personali, ecco perché sto tempestando il forum di domande. Quindi chiedo venia e aiuto.
Risposte
La mia affermazione è in general falsa, l'ho scoperto "per caso", considerando due circonferenze che si intersecano esattamente in due punti diametricalmente opposti:
Il gruppo fondamentale di questo spazio topologico è il gruppo libero generato da tre elementi, se aggiungo il diametro (quindi uno spazio topologico sempl. connesso) che collega i due punti di intersezione e lo retraggo ad un punto ottengo un fiore a quattro petali che ha un gruppo fondamentale diverso dal precedente.
Il gruppo fondamentale di questo spazio topologico è il gruppo libero generato da tre elementi, se aggiungo il diametro (quindi uno spazio topologico sempl. connesso) che collega i due punti di intersezione e lo retraggo ad un punto ottengo un fiore a quattro petali che ha un gruppo fondamentale diverso dal precedente.
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