Trasposta di un endomorfismo?
Salve a tutti!
E' la prima volta che scrivo del forum ma praticamente grazie a voi ho risolto la maggior parte dei dubbi che avevo nei vari esami di matematica che ho affrontato sino ad oggi
Vado subito al dunque. Ho un esercizio di algebra dove mi si chiede di determinare se la matrice $A$ è diagonalizzabile, trovare la diagonalizzante, ecc. Il problema non sono tanto questi passaggi quanto il fatto che la matrice devo ricavarmela da questa formula:
$f(x,y,z)^t = AX$
dove
$f:R^3rarrR^3$
$f(x,y,z) = x-2y+3z, -2x+4y-6z, x-2y+3z)$
e
$X=(x,y,z)^t$
Vorrei solo capire come trovare la matrice A, quel $f(x,y,z)^t$ non l'ho mai visto
E' la prima volta che scrivo del forum ma praticamente grazie a voi ho risolto la maggior parte dei dubbi che avevo nei vari esami di matematica che ho affrontato sino ad oggi
Vado subito al dunque. Ho un esercizio di algebra dove mi si chiede di determinare se la matrice $A$ è diagonalizzabile, trovare la diagonalizzante, ecc. Il problema non sono tanto questi passaggi quanto il fatto che la matrice devo ricavarmela da questa formula:
$f(x,y,z)^t = AX$
dove
$f:R^3rarrR^3$
$f(x,y,z) = x-2y+3z, -2x+4y-6z, x-2y+3z)$
e
$X=(x,y,z)^t$
Vorrei solo capire come trovare la matrice A, quel $f(x,y,z)^t$ non l'ho mai visto
Risposte
Beh, non è difficile: l'elemento \(a_{ij}\) di \(A\) è il coefficiente della \(j\)-esima variabile nella \(i\)-esima componente di \(f\).
Nel tuo caso hai:
\[
f(x,y,z)= (x-2y+3z,-2x+4y-6z,x-2y+3z) \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} f_1(x,y,z)=x-2y+3z \\ f_2(x,y,z)=-2x+4y-6z \\ f_3(x,y,z)=x-2y+3z\end{cases}
\]
quindi:
Nel tuo caso hai:
\[
f(x,y,z)= (x-2y+3z,-2x+4y-6z,x-2y+3z) \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} f_1(x,y,z)=x-2y+3z \\ f_2(x,y,z)=-2x+4y-6z \\ f_3(x,y,z)=x-2y+3z\end{cases}
\]
quindi:
[*:19tf2bte] \(a_{11}\) è il coefficiente di \(x\) in \(f_1(x,y,z)\), perciò \(a_{11}=1\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{12}\) è il coefficiente di \(y\) in \(f_1(x,y,z)\), perciò \(a_{12}=-2\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{13}\) è il coefficiente di \(z\) in \(f_1(x,y,z)\), perciò \(a_{13}=3\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{21}\) è il coefficiente di \(x\) in \(f_2(x,y,z)\), perciò \(a_{21}=-2\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{22}\) è il coefficiente di \(y\) in \(f_2(x,y,z)\), perciò \(a_{22}=4\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{23}\) è il coefficiente di \(z\) in \(f_2(x,y,z)\), perciò \(a_{23}=-6\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{31}\) è il coefficiente di \(x\) in \(f_3(x,y,z)\), perciò \(a_{31}=1\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{32}\) è il coefficiente di \(y\) in \(f_3(x,y,z)\), perciò \(a_{32}=-2\);
[/*:m:19tf2bte]
[*:19tf2bte] \(a_{33}\) è il coefficiente di \(z\) in \(f_3(x,y,z)\), perciò \(a_{33}=3\);[/*:m:19tf2bte][/list:u:19tf2bte]
e la tua matrice è:
\[
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 1 & -2 & 3\end{pmatrix}\; .
\]
Se vuoi fare la verifica, basta calcolare esplicitamente il prodotto riga per colonna di \(A\ X\): invero hai:
\[
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 1 & -2 & 3\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z
\end{pmatrix} = (x-2y+3z,-2x+4y-6z,x-2y+3z) = f^T (x,y,z)
\]
(ed il trasposto del vettore \(f(x,y,z)\) sta solo ad indicare che quello che ottieni da \(A\ X\) è un vettore riga, invece che un vettore colonna).
Grazie per la risposta, mi resta solo un piccolo dubbio:
La matrice che hai scritto è praticamente quella associata all'endonorfismo o sbaglio? In un precedente esercizio (con lo stesso endomorfismo) ho calcolato la dimensione dell'immagine (e ne ho trovato una base prendendo arbitrariamente una colonna) avendo trovato dim=1).
Scusa la scrittura strana ma sono dal cellulare
La matrice che hai scritto è praticamente quella associata all'endonorfismo o sbaglio? In un precedente esercizio (con lo stesso endomorfismo) ho calcolato la dimensione dell'immagine (e ne ho trovato una base prendendo arbitrariamente una colonna) avendo trovato dim=1).
Scusa la scrittura strana ma sono dal cellulare
Certo, \(A\) è proprio la matrice associata ad \(f\).
Si vede subito che \(\operatorname{rank} A=1\), quindi \(\dim \operatorname{Im} f =1\) e che \(\dim \ker f =2\); inoltre, come base di \(\operatorname{Im} f\) (che è lo spazio generato dalle colonne di \(A\)) puoi prendere una qualsiasi delle colonne di \(A\); mentre come base di \(\ker f\) puoi prendere \(\{ (2,1,0), (-3,0,1)\}\).
Si vede subito che \(\operatorname{rank} A=1\), quindi \(\dim \operatorname{Im} f =1\) e che \(\dim \ker f =2\); inoltre, come base di \(\operatorname{Im} f\) (che è lo spazio generato dalle colonne di \(A\)) puoi prendere una qualsiasi delle colonne di \(A\); mentre come base di \(\ker f\) puoi prendere \(\{ (2,1,0), (-3,0,1)\}\).
Si infatti i risultati ai quali sei arrivato sono proprio quelli che ho trovato.
Perdonami però se abuso della tua disponibilità ma il significato di quella simbolo di trasposizione non mi è chiarissimo. Ho visto che in altri esercizi la richiesta è simile ma senza la $t$... in pratica $A$ è sempre quella?
Perdonami però se abuso della tua disponibilità ma il significato di quella simbolo di trasposizione non mi è chiarissimo. Ho visto che in altri esercizi la richiesta è simile ma senza la $t$... in pratica $A$ è sempre quella?
Io credo che si tratti solo di una convernzione.
Siccome chi ha scritto il testo considera i vettori numerici come colonne, i vettori riga vengono denotati col trasposto.
Ad esempio, il sistema lineare con matrice \(A\) incognite \(x\) e termini noti \(b\) viene denotato con:
\[
A\ x=b^T
\]
perchè dal prodotto riga-colonna viene fuori un vettore riga, dunque il vettore \(b\) non può essere scritto come colonna al secondo membro.
Allo stesso modo, se \(f(x)\) è l'endomorfismo determinato dalla matrice \(A\), allora:
\[
f^T (x) = Ax
\]
perchè dal prodotto riga-colonna viene fuori un vettore riga, dunque il vettore \(f(x)\) non può essere scritto come colonna al primo membro.
Insomma, è un fatto puramente formale/notazionale.
Però, per conferma, dovresti andare a chiedere al docente.
Siccome chi ha scritto il testo considera i vettori numerici come colonne, i vettori riga vengono denotati col trasposto.
Ad esempio, il sistema lineare con matrice \(A\) incognite \(x\) e termini noti \(b\) viene denotato con:
\[
A\ x=b^T
\]
perchè dal prodotto riga-colonna viene fuori un vettore riga, dunque il vettore \(b\) non può essere scritto come colonna al secondo membro.
Allo stesso modo, se \(f(x)\) è l'endomorfismo determinato dalla matrice \(A\), allora:
\[
f^T (x) = Ax
\]
perchè dal prodotto riga-colonna viene fuori un vettore riga, dunque il vettore \(f(x)\) non può essere scritto come colonna al primo membro.
Insomma, è un fatto puramente formale/notazionale.
Però, per conferma, dovresti andare a chiedere al docente.
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