Trasporto parallelo
Ciao a tutti, ho intuitivamente chiaro cosa si intende per trasporto parallelo di un vettore su una curva in una superficie ma non capisco perchè un campo di vettori
trasportato su una curva viene definito come un campo di vettore che ha componente tangenziale della derivata nulla.
In pratica non mi sembra evidente il legame tra l'idea intuitiva e la definizione formale, forse c'è una definizione diversa più intuitiva che fa ricorso solo alla
geometria sintetica da cui discende la definizione analitica?
trasportato su una curva viene definito come un campo di vettore che ha componente tangenziale della derivata nulla.
In pratica non mi sembra evidente il legame tra l'idea intuitiva e la definizione formale, forse c'è una definizione diversa più intuitiva che fa ricorso solo alla
geometria sintetica da cui discende la definizione analitica?
Risposte
Non capisco cosa vuoi dire.
Data una connessione (derivata covariante) $D$ su una qualsiasi varietà $n$-dimensionale $M$ (di solito si prende la connessione di Levi-Civita, che è automaticamente indotta dalla metrica $g$, se lavori su una varietà di Riemann) ed una curva $\gamma: [a,b] to M$. Un campo vettoriale sulla curva $\gamma$ è una funzione
$V: [a,b] \to TM$
per cui $V(t) \in T_(gamma(t)) M$ $forall t$.
$V$ è trasportato parallelamente alla curva $\gamma$ se $D_{gamma'(t)} V = 0$.
Cosa vuol dire? Nel caso specifico della connessione di Levi Civita (connessione compatibile con la metrica $g$), il tuo trasporto parallelo preserva l'angolo tra due vettori $V(t)$ e $W(t)$ nel caso che $V$ e $W$ siano paralleli lungo $gamma$.
Si può dimostrare che dato un vettore iniziale $V(a)$, allora il campo vettoriale $V$ è unicamente determinato su tutta la curva.
Inoltre se $\gamma$ è una curva allora la mappa:
$P_{gamma}: T_{gamma(a)}M \to T_{gamma(b)}M$, definita prendendo un vettore $X in T_{gamma(a)}M$ e trasportato parallelamente lungo $gamma$ in $T_{gamma(b)}M$, questa mappa diviene un'isometria.
In particolare se $\gamma$ è chiusa allora $P_{gamma} \in Isom(T_{gamma(a)}M)$ (l'insieme di tali funzioni forma un gruppo detto gruppo di olonomia).
Data una connessione (derivata covariante) $D$ su una qualsiasi varietà $n$-dimensionale $M$ (di solito si prende la connessione di Levi-Civita, che è automaticamente indotta dalla metrica $g$, se lavori su una varietà di Riemann) ed una curva $\gamma: [a,b] to M$. Un campo vettoriale sulla curva $\gamma$ è una funzione
$V: [a,b] \to TM$
per cui $V(t) \in T_(gamma(t)) M$ $forall t$.
$V$ è trasportato parallelamente alla curva $\gamma$ se $D_{gamma'(t)} V = 0$.
Cosa vuol dire? Nel caso specifico della connessione di Levi Civita (connessione compatibile con la metrica $g$), il tuo trasporto parallelo preserva l'angolo tra due vettori $V(t)$ e $W(t)$ nel caso che $V$ e $W$ siano paralleli lungo $gamma$.
Si può dimostrare che dato un vettore iniziale $V(a)$, allora il campo vettoriale $V$ è unicamente determinato su tutta la curva.
Inoltre se $\gamma$ è una curva allora la mappa:
$P_{gamma}: T_{gamma(a)}M \to T_{gamma(b)}M$, definita prendendo un vettore $X in T_{gamma(a)}M$ e trasportato parallelamente lungo $gamma$ in $T_{gamma(b)}M$, questa mappa diviene un'isometria.
In particolare se $\gamma$ è chiusa allora $P_{gamma} \in Isom(T_{gamma(a)}M)$ (l'insieme di tali funzioni forma un gruppo detto gruppo di olonomia).
perchè deve essere nulla al derivata covariante di V rispetto a al vettore tangente? cioè qual'è il senso geometrico?
In poche parole, per trasporto parallelo di un vettore su una curva di una superficie si intende che chi muove il vettore sulla superficie tende sempre a farlo stare parallelo a se stesso. Questo può anche comportare, ed è il caso delle superficie curve, che chi guarda dall'esterno (spazio ambiente) vede invece il vettore che cambia direzione.
Per chi guarda dall'esterno il vettore trasportato parallelamente quale condizione geometrica soddisfa?
Si potrebbe pensare che la condizione sia che l'angolo tra il vettore e la tangente alla curva sia costante. Ma se supponiamo questo allora comunque si prende una curva il suo campo di vettori tangenti ha sempre lo stesso angolo con la retta tangente (cioè zero) quindi in ogni curva il suo campo di vettori tangenti è trasportato parallelamente quindi dovrebbe essere una geodetica cosa che non è vera.
In poche parole, per trasporto parallelo di un vettore su una curva di una superficie si intende che chi muove il vettore sulla superficie tende sempre a farlo stare parallelo a se stesso. Questo può anche comportare, ed è il caso delle superficie curve, che chi guarda dall'esterno (spazio ambiente) vede invece il vettore che cambia direzione.
Per chi guarda dall'esterno il vettore trasportato parallelamente quale condizione geometrica soddisfa?
Si potrebbe pensare che la condizione sia che l'angolo tra il vettore e la tangente alla curva sia costante. Ma se supponiamo questo allora comunque si prende una curva il suo campo di vettori tangenti ha sempre lo stesso angolo con la retta tangente (cioè zero) quindi in ogni curva il suo campo di vettori tangenti è trasportato parallelamente quindi dovrebbe essere una geodetica cosa che non è vera.
Il senso geometrico è appunto il preservarsi degli angoli, il fatto che la mappa $P_{gamma}$ diventa un'isometria. Una dimostrazione la puoi trovare in "Riemannian Manifolds: introduction to curvature" di John M. Lee.
Questo vale in particolar modo per le geodetiche, che non sono nient'altro che curve $gamma$ per cui $gamma'$ (inteso come campo vettoriale lungo la curva $gamma$) è parallelo lungo $gamma$. Ma non solo, il trasporto parallelo lo puoi definire soltanto a partire da un vettore iniziale $V_0$, conoscendo $V_0$ e $gamma$ puoi determinare il campo vettoriale lungo $gamma$ che sia parallelo lungo $gamma$. E questo per definizione avrà la proprieta che preserverà in tutto il suo cammino gli angoli.
Facciamo un esempio, prendendo lo spazio euclideo e trasportando un vettore lungo una curva chiusa otterrai che esso rimarra immutato alla fine, ovvero nello spazio euclideo per ogni curva $\gamma$, $P_{gamma} = Id$. Ma ciò non accade per esempio sulla sfera $S^2$ con la metrica indotta da $RR^3$. In questo caso l'olonomia diventa una rotazione del vettore iniziale di un angolo pari all'area della regione circoscritta dalla curva.
Guarda anche qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport
Questo vale in particolar modo per le geodetiche, che non sono nient'altro che curve $gamma$ per cui $gamma'$ (inteso come campo vettoriale lungo la curva $gamma$) è parallelo lungo $gamma$. Ma non solo, il trasporto parallelo lo puoi definire soltanto a partire da un vettore iniziale $V_0$, conoscendo $V_0$ e $gamma$ puoi determinare il campo vettoriale lungo $gamma$ che sia parallelo lungo $gamma$. E questo per definizione avrà la proprieta che preserverà in tutto il suo cammino gli angoli.
Facciamo un esempio, prendendo lo spazio euclideo e trasportando un vettore lungo una curva chiusa otterrai che esso rimarra immutato alla fine, ovvero nello spazio euclideo per ogni curva $\gamma$, $P_{gamma} = Id$. Ma ciò non accade per esempio sulla sfera $S^2$ con la metrica indotta da $RR^3$. In questo caso l'olonomia diventa una rotazione del vettore iniziale di un angolo pari all'area della regione circoscritta dalla curva.
Guarda anche qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport
Prendiamo come definizione "l'angolo tra il vettore e la tangente alla curva sia costante."
Allora comunque si prende una curva il suo campo di vettori tangenti ha sempre lo stesso angolo con la retta tangente (cioè zero) quindi in ogni curva il suo campo di vettori tangenti è trasportato parallelamente (cosa non vera perché altrimenti ai avrebbe che ogni curva è una geodetica).
Allora comunque si prende una curva il suo campo di vettori tangenti ha sempre lo stesso angolo con la retta tangente (cioè zero) quindi in ogni curva il suo campo di vettori tangenti è trasportato parallelamente (cosa non vera perché altrimenti ai avrebbe che ogni curva è una geodetica).
Ok scusami ho dovuto anche io rivedermi un po' le cose perché ho fatto confusione.
Allora, se una metrica $g$ è compatibile con $D$, si può dimostrare (questo è certo! Lemma 5.2 del libro che ti ho detto) che se hai due campi vettoriali $V$ e $W$ lungo una curva $gamma$ che sono paralleli lungo $gamma$, allora $$ è costante (e cioè la mappa $P_{gamma}$ è un'isometria). Questo non vuol dire che a priori $gamma'$ è parallelo lungo $gamma$. La definizione di parallelo lungo una curva (rispetto alla connessione di Levi Civita) serve a giustificare questa cosa.
Allora, se una metrica $g$ è compatibile con $D$, si può dimostrare (questo è certo! Lemma 5.2 del libro che ti ho detto) che se hai due campi vettoriali $V$ e $W$ lungo una curva $gamma$ che sono paralleli lungo $gamma$, allora $
Vediamo se ho capito bene.
In pratica la definizione "derivata covariante di un campo di vettori rispetto al campo tangente =0" è stata data perchè se due campi V e W soddisfano
questa condizione allora i loro angoli sono uguali in ogni punto.
Il fatto è che tutto mi sembra poco intuitivo forse c'è qualcos'altro sotto.
Facciamo un discorso solo intuitivo (mettiamo un pò da parte il formalismo). Se io sono su una superficie e trasporto parallelamente un vettore su una curva chi è nello spazio ambiente vede queso campo di vettori che soddisfa qualche proprietà geometrica?
In pratica la definizione "derivata covariante di un campo di vettori rispetto al campo tangente =0" è stata data perchè se due campi V e W soddisfano
questa condizione allora i loro angoli sono uguali in ogni punto.
Il fatto è che tutto mi sembra poco intuitivo forse c'è qualcos'altro sotto.
Facciamo un discorso solo intuitivo (mettiamo un pò da parte il formalismo). Se io sono su una superficie e trasporto parallelamente un vettore su una curva chi è nello spazio ambiente vede queso campo di vettori che soddisfa qualche proprietà geometrica?
Se appunto la curva è una geodetica, allora l'angolo si preserva (per ciò che ti ho detto prima). Esempio: in un triangolo geodetico in $S^2$ un vettore $V_0$ è trasportato lungo ogni lato, che sarabbe una parte di geodetica, in modo tale da rispettare gli angoli con $gamma'$. Guarda il disegno in wikipedia.
Teoricamente su una curva qualsiasi non puoi dire niente, solo se hai una curva chiusa appunto, in questo caso il vettore viene ruotato o simmetrizzato (rimanendo nello stesso spazio tangente).
Non so molto di più però...forse mi sfugge qualcosa.
Teoricamente su una curva qualsiasi non puoi dire niente, solo se hai una curva chiusa appunto, in questo caso il vettore viene ruotato o simmetrizzato (rimanendo nello stesso spazio tangente).
Non so molto di più però...forse mi sfugge qualcosa.
La geodetica è definita a partire dal trasporto parallelo. Quindi il problema è proprio capire la definizione di trasporto parallelo.
Forse il problema è che io cerco una proprietà geometrica nello spazio ambiente invece devo ragionare sul quello che accade al campo di vettori
trasportato parallelamente per chi è sulla superficie
Forse il problema è che io cerco una proprietà geometrica nello spazio ambiente invece devo ragionare sul quello che accade al campo di vettori
trasportato parallelamente per chi è sulla superficie
Beh, allora il problema sta proprio nel concetto di connessione. Quella di Levi Civita è in particolare una costruzione compatibile con la metrica $g$ in modo da rappresentare una sorta di "derivata" di campi vettoriali lungo una certa "direzione", rappresentato da un'altro campo vettoriale. Tutto questo in una maniera che si trasformi "bene" effettuando un cambio di coordinate.
Cosa vuol dire $D_X Y = 0$? Vuol dire che la componente parallela a $X$ della derivata direzionale di $Y$ in coordinate è uguale a 0. Cioè $Y$ è "costante" e quindi parallelo lungo $X$.
Io intuitivamente (mooolto intuitivamente) la vedo così.
Cosa vuol dire $D_X Y = 0$? Vuol dire che la componente parallela a $X$ della derivata direzionale di $Y$ in coordinate è uguale a 0. Cioè $Y$ è "costante" e quindi parallelo lungo $X$.
Io intuitivamente (mooolto intuitivamente) la vedo così.
Da non matematico e non fisico (ma chimico) credo di aver inteso questo. Il trasporto parallelo di un vettore V in uno spazio euclideo, lungo una generica curva, è esattamente quello che si intende comunemente per movimento parallelo. Se vi fossero due curve distinte, entrambi che iniziano da un punto comune A e terminano in un punto comune B, un vettore V in A che si trasportasse parallelamente in B, sarebbe orientato nello stesso modo indipendentemente dal percorso (curva) scelto, e comunque parallelo al vettore di origine. Se lo spazio è descritto in coordinate cartesiane (sempre possibile) questo si esprime dicendo che dVn/dxm=0 (perdonate ma, come nuovo iscritto, non so ancora fare a scrivere in simbologia appropriata). Ma se le coordinate scelte sono generiche lo stesso concetto lo si esprime con DmVn=0, dove alle derivate parziali di Vn rispetto a xm si aggiunge un termine addizionale (simbolo di Cristoffel) per tenere conto del sistema non ortogonale. Ma anche in un sistema di coordinate generico il risultato "visivo" è lo stesso, perché DmVn è un tensore. In quanto tale esso sarà nullo in tutti i sistemi di riferimento con cui desideriamo descrivere quello spazio, ed esprimerà sempre lo stesso concetto, e sarà sempre possibile riesprimere il tutto in un sistema cartesiano dove il concetto di trasporto parallelo è chiaro.
Per una superficie curva (la superficie di una sfera ad esempio) la faccenda è un pò diversa. Se in tale spazio, descritto da un generico sistema di coordinate, si definisce una curva che parte dal punto A fino a B, il trasporto parallelo di un vettore V da A a B può essere pensato a steps infinitesimi. Se iniziamo da A, nell'intorno di tale punto è possibile ritenere la geometria localmente euclidea. Questo consente di visualizzare il trasporto parallelo di V da A ad un punto sulla curva adiacente ad A, per uno spostamento infinitesimo entro il dominio euclideo di A, come movimento parallelo nel senso comune del termine. Di nuovo, si potrà muovere parallelamente il vettore V dalla posizione precedente (infinitesimamente prossima a A) ad un punto più avanzato, con medesimo artificio. Tuttavia, non sarà in generale vero che per due infinitesimi spostamenti il vettore è parallelo (nel senso comune del termine) al vettore iniziale. Due spostamenti infinitesimali sono descritti da derivate di secondo ordine. che a sua volta implicano derivate seconde del tensore metrico gmn. A differenza delle derivate prime di gmn, le derivate seconde sono certamente nulle per uno spazio euclideo, in qualsiasi sistema di coordinate, ma generalmente non nulle in un sistema non euclidea, in una superficie curva ad esempio. Questo è la base per distinguere uno spazio curvo da uno piatto, alla fine definendo il tensore di Riemann che appunto contiene derivate seconde del tensore metrico. Tornando al vettore V, per visualizzare il trasporto parallelo lungo una curva in uno spazio curvo, si può fare questo ragionamento. Si immagini di avere una superficie curva (2D) e definire una curva qualsiasi in tale superficie, su cui trasportare parallelamente V, dal punto iniziale A al punto finale B. Tale superficie e con essa la curva è anche descrivibile in 3D, dove la superficie è immersa. Tale spazio ipotizziamo sia euclideo. Ebbene, se trasportiamo parallelamente V, da A a B, lungo la curva definita, ma secondo lo spazio euclideo 3D, si dovrà immaginare un vettore muoversi parallelamente a sé stesso lungo la curva (con concetto di movimento parallelo come da senso comune), ma in riferimento alla superficie, potrebbe essere che esso "buca" la superficie o esce fuori dalla superficie: ci stiamo muovendo nello spazio 3D infatti, e non sulla superficie. Affinchè il vettore si muova parallelamente lungo la curva ma sulla superficie, il vettore è obbligato a ruotare, visto da un osservatore in 3D, per adeguarsi alla curvatura della superficie. Si potrebbe anche dire che il piano definito dal vettore V e dal vettore tangente alla curva (nel medesimo punto dove stiamo considerando V) deve essere un piano che si mantiene tangente alla superficie, questo sempre per V che si sta trasportando parallelamente lungo la curva sulla superficie.
Per una superficie curva (la superficie di una sfera ad esempio) la faccenda è un pò diversa. Se in tale spazio, descritto da un generico sistema di coordinate, si definisce una curva che parte dal punto A fino a B, il trasporto parallelo di un vettore V da A a B può essere pensato a steps infinitesimi. Se iniziamo da A, nell'intorno di tale punto è possibile ritenere la geometria localmente euclidea. Questo consente di visualizzare il trasporto parallelo di V da A ad un punto sulla curva adiacente ad A, per uno spostamento infinitesimo entro il dominio euclideo di A, come movimento parallelo nel senso comune del termine. Di nuovo, si potrà muovere parallelamente il vettore V dalla posizione precedente (infinitesimamente prossima a A) ad un punto più avanzato, con medesimo artificio. Tuttavia, non sarà in generale vero che per due infinitesimi spostamenti il vettore è parallelo (nel senso comune del termine) al vettore iniziale. Due spostamenti infinitesimali sono descritti da derivate di secondo ordine. che a sua volta implicano derivate seconde del tensore metrico gmn. A differenza delle derivate prime di gmn, le derivate seconde sono certamente nulle per uno spazio euclideo, in qualsiasi sistema di coordinate, ma generalmente non nulle in un sistema non euclidea, in una superficie curva ad esempio. Questo è la base per distinguere uno spazio curvo da uno piatto, alla fine definendo il tensore di Riemann che appunto contiene derivate seconde del tensore metrico. Tornando al vettore V, per visualizzare il trasporto parallelo lungo una curva in uno spazio curvo, si può fare questo ragionamento. Si immagini di avere una superficie curva (2D) e definire una curva qualsiasi in tale superficie, su cui trasportare parallelamente V, dal punto iniziale A al punto finale B. Tale superficie e con essa la curva è anche descrivibile in 3D, dove la superficie è immersa. Tale spazio ipotizziamo sia euclideo. Ebbene, se trasportiamo parallelamente V, da A a B, lungo la curva definita, ma secondo lo spazio euclideo 3D, si dovrà immaginare un vettore muoversi parallelamente a sé stesso lungo la curva (con concetto di movimento parallelo come da senso comune), ma in riferimento alla superficie, potrebbe essere che esso "buca" la superficie o esce fuori dalla superficie: ci stiamo muovendo nello spazio 3D infatti, e non sulla superficie. Affinchè il vettore si muova parallelamente lungo la curva ma sulla superficie, il vettore è obbligato a ruotare, visto da un osservatore in 3D, per adeguarsi alla curvatura della superficie. Si potrebbe anche dire che il piano definito dal vettore V e dal vettore tangente alla curva (nel medesimo punto dove stiamo considerando V) deve essere un piano che si mantiene tangente alla superficie, questo sempre per V che si sta trasportando parallelamente lungo la curva sulla superficie.
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