Trasformazioni non lineari
Ciao a tutti. Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Una variabile aleatoria entra in un blocco non lineare avente la seguente caratteristica:
$y= -(x+1)^2$ per $x<=-1$
$y= 0$ per $-1<=x<=+1$
$y= (x-1)^2$ per $x>+1$
determinare l'espressione della CDF (funzione di distribuzione cumulativa) e della PDF (derivata della CDF).
Un volta graficato il blocco non lineare ho trovato i vari pezzetti della CDF, ovvero:
1) per $x<-1$ ho $F_y(y)=F_x(-1-sqrt(-y))$
2) per $-1<=x<=+1$ ho $F_y(y)=F_x(1)-F_x(-1)$
3) per $x>+1$ ho $F_y(y)=F_x(1+sqrt(y))-F_x(1)$
Per ottenere la CDF globale dovrei sommare i tre pezzetti, ma il professore fa così e non capisco perché:
$F_y(y)=u(-1-y)*F_x(-1-sqrt(-y))+F_x(-2)*pi(y+0.5)+F_x(2)*pi(y-0.5)+u(y-1)-F_x(1+sqrt(y))$
per $pi$ intendo l'impulso rettangolare mentre per $u$ il gradino...
Come fa ad ottenere tal espressione? E come devo fare io ad ottenere tale espressione?
Una variabile aleatoria entra in un blocco non lineare avente la seguente caratteristica:
$y= -(x+1)^2$ per $x<=-1$
$y= 0$ per $-1<=x<=+1$
$y= (x-1)^2$ per $x>+1$
determinare l'espressione della CDF (funzione di distribuzione cumulativa) e della PDF (derivata della CDF).
Un volta graficato il blocco non lineare ho trovato i vari pezzetti della CDF, ovvero:
1) per $x<-1$ ho $F_y(y)=F_x(-1-sqrt(-y))$
2) per $-1<=x<=+1$ ho $F_y(y)=F_x(1)-F_x(-1)$
3) per $x>+1$ ho $F_y(y)=F_x(1+sqrt(y))-F_x(1)$
Per ottenere la CDF globale dovrei sommare i tre pezzetti, ma il professore fa così e non capisco perché:
$F_y(y)=u(-1-y)*F_x(-1-sqrt(-y))+F_x(-2)*pi(y+0.5)+F_x(2)*pi(y-0.5)+u(y-1)-F_x(1+sqrt(y))$
per $pi$ intendo l'impulso rettangolare mentre per $u$ il gradino...
Come fa ad ottenere tal espressione? E come devo fare io ad ottenere tale espressione?
Risposte
Il prof R. fa cosi perché in uscita deve tener conto delle condizioni poste in ingresso ossia di $x<-1$ tramite $u(-1-y)$, $-1<=x<=+1$ qui siccome si passa da valori di x<0 a x>0 usa 2 rect: $pi(y+0.5)$ e $pi(y-0.5)$ ed inoltre cambia il segno al 2 in $F_x$, per finire puoi tenere conto di $x>+1$ tramite il gradino u(y-1).
Immagino che l'ultimo segno $-$ della tua espressione sia un $*$
Immagino che l'ultimo segno $-$ della tua espressione sia un $*$
per farti capire meglio prendiamo il primo pezzo: se ti limiti a dire che $F_y(y)=F_x(-1-sqrt(-y))$ per x<-1 è come se la condizione in rosso la applichi solo a parole ma non matematicamente
"raff5184":
[quote="Ahi"]Ciao a tutti. Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Una variabile aleatoria entra in un blocco non lineare avente la seguente caratteristica:
$y= -(x+1)^2$ per $x<=-1$
$y= 0$ per $-1<=x<=+1$
$y= (x-1)^2$ per $x>+1$
determinare l'espressione della CDF (funzione di distribuzione cumulativa) e della PDF (derivata della CDF).
Un volta graficato il blocco non lineare ho trovato i vari pezzetti della CDF, ovvero:
1) per $x<-1$ ho $F_y(y)=F_x(-1-sqrt(-y))$
2) per $-1<=x<=+1$ ho $F_y(y)=F_x(1)-F_x(-1)$
3) per $x>+1$ ho $F_y(y)=F_x(1+sqrt(y))-F_x(1)$
Per ottenere la CDF globale dovrei sommare i tre pezzetti, ma il professore fa così e non capisco perché:
$F_y(y)=u(-1-y)*F_x(-1-sqrt(-y))+F_x(-2)*pi(y+0.5)+F_x(2)*pi(y-0.5)+u(y-1)-F_x(1+sqrt(y))$
per $pi$ intendo l'impulso rettangolare mentre per $u$ il gradino...
Come fa ad ottenere tal espressione? E come devo fare io ad ottenere tale espressione?
Il prof R. fa cosi perché in uscita deve tener conto delle condizioni poste in ingresso ossia di $x<-1$ tramite $u(-1-y)$, $-1<=x<=+1$ qui siccome si passa da valori di x<0 a x>0 usa 2 rect: $pi(y+0.5)$ e $pi(y-0.5)$ ed inoltre cambia il segno al 2 in $F_x$, per finire puoi tenere conto di $x>+1$ tramite il gradino u(y-1).
Immagino che l'ultimo segno $-$ della tua espressione sia un $*$[/quote]
Si è un $*$.
Ma sei si sicuro si faccia così perché il prof U. dice altro...e mi stanno facendo esaurire!
Non ho capito bene l'utilizzo di quei due impulsi....
"Ahi":U. che dice?
Ma sei si sicuro si faccia così perché il prof U. dice altro...e mi stanno facendo esaurire
"Ahi":le due rect intendi?
Non ho capito bene l'utilizzo di quei due impulsi....
allora per x<0 ha preso $F_x($-$2)$, per x>0 ha preso $F_x($+$2)$; siccome $F_x($-$2)$ deve valere solo da -1 a 0 (da 0 in poi subentra $F_x($+$2)$) lo ha moltiplicato per una rect estesa appunto da -1 a 0; se non lo avesse moltiplicato per tale rect sarebbe successo che $F_x(-2)$ "avrebbe sforato" dai limiti. Analogamente per $F_x($+$2)$
"Ahi":
Ma sei si sicuro si faccia così perché il prof U. dice altro...e mi stanno facendo esaurire!
OT: quando le cose stanno cosi prendi tanti libri di esercizi svolti e inizia da quelli...
"raff5184":
[quote="Ahi"]Ma sei si sicuro si faccia così perché il prof U. dice altro...e mi stanno facendo esaurire!
OT: quando le cose stanno cosi prendi tanti libri di esercizi svolti e inizia da quelli...[/quote]
Quale libro intendi? Il proakis?
"Ahi":Anche, ma più in generale tutti quelli che possono esserti utili e che riesci a trovare. Diciamo che gli esercizi-esempi del proakis sono esempi più sul teorico, classici.
Il proakis?
Sapresti consigliarmi un libro che tratta questi esercizi?
rispondo in privato
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