Trasformazioni nel piano
sia $X={(x,y)in RR^2: x^2+y^2=i^2}$
devo ruotare la circonferenza di $theta$ e dilatarla di $lambda$
avevo pensato a una trasformazione definita dalla matrice:
$A=((lambdacostheta, -lambdasintheta),(lambdacostheta,lambdasintheta))$. in questo modo $x'$ e $y'$ sono dati ma non saprei come scrverla... o devo passare all'inversa?
devo ruotare la circonferenza di $theta$ e dilatarla di $lambda$
avevo pensato a una trasformazione definita dalla matrice:
$A=((lambdacostheta, -lambdasintheta),(lambdacostheta,lambdasintheta))$. in questo modo $x'$ e $y'$ sono dati ma non saprei come scrverla... o devo passare all'inversa?
Risposte
Non ho capito qual'è il problema... Scrivendo la matrice hai già scritto la trasformazione, che bisogno hai di calcolarti l'inversa (che è comunque abbastanza immediata da calcolare...)? La rotazione di una circonferenza è sempre la stessa circonferenza e la dilatazione modifica semplicemente il raggio. L'immagine di X attraverso la trasformazione è quindi semplicemente $X' = {(x,y) \in RR^2 | x^2 + y^2 = \lambda^2i^2}$
non facciamo sempre l'inversa per queste questioni ad esempio con la traslazione facciamo $x'=a+x$ segue che $x=x'-a$
Puoi ovviamente usare quel metodo ma spesso esiste un metodo più efficiente per trovare l'immagine basandosi semplicemente sulla sua geometria e le caratteristiche della trasformazione.
In questo caso con il tuo metodo otterresti:
$A^{-1} = 1/(\lambda)((cos\theta, sin\theta),(-sin\theta,cos\theta))$
E quindi
$((x),(y)) = 1/(\lambda)((cos\theta, sin\theta),(-sin\theta,cos\theta))((x'),(y'))$
cioè
$x = (x'cos\theta + y'sin\theta)/(\lambda)$
$y = (-x'sin\theta + y'cos\theta)/(\lambda)$
Sostituendo infine nella tua equazione:
$i^2 = x^2 + y^2 = ((x'cos\theta + y'sin\theta)/(\lambda))^2 + ((-x'sin\theta + y'cos\theta)/(\lambda))^2$
$\lambda^2i^2 = x'^2cos^2\theta + y'^2sin^2\theta + 2x'y'cos\thetasin\theta + x'^2sin^2\theta + y'^2cos^2\theta - 2x'y'cos\thetasin\theta$
$\lambda^2i^3 = x'^2 + y'^2$
Come vedi il risultato è lo stesso solo che i calcoli sono stati molti di più...
In questo caso con il tuo metodo otterresti:
$A^{-1} = 1/(\lambda)((cos\theta, sin\theta),(-sin\theta,cos\theta))$
E quindi
$((x),(y)) = 1/(\lambda)((cos\theta, sin\theta),(-sin\theta,cos\theta))((x'),(y'))$
cioè
$x = (x'cos\theta + y'sin\theta)/(\lambda)$
$y = (-x'sin\theta + y'cos\theta)/(\lambda)$
Sostituendo infine nella tua equazione:
$i^2 = x^2 + y^2 = ((x'cos\theta + y'sin\theta)/(\lambda))^2 + ((-x'sin\theta + y'cos\theta)/(\lambda))^2$
$\lambda^2i^2 = x'^2cos^2\theta + y'^2sin^2\theta + 2x'y'cos\thetasin\theta + x'^2sin^2\theta + y'^2cos^2\theta - 2x'y'cos\thetasin\theta$
$\lambda^2i^3 = x'^2 + y'^2$
Come vedi il risultato è lo stesso solo che i calcoli sono stati molti di più...
ok. Perfetto!!! Mi puoi spiegare bene, ovviamente se hai tempo e voglia, il perchè di passare all'inversa, perchè non c'è l'ho del tutto chiaro in testa.
Grazie e a presto per la disponibilità.
Grazie e a presto per la disponibilità.
Per poter riscrivere la tua relazione in funzione delle x' e y' dello spazio immagine hai bisogno di calcolarti x e y in loro funzione e quindi prendere l'inversa della trasformazione.
grazie 
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