Trasformazioni geometriche del piano
Buonasera a tutti! Avrei bisogno di un aiuto per il seguente problema.
Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la trasformazione f che a ogni punto P di coordinate (x,y) associa il punto f(P) di coordinate f(x,y) = (y, −x).
a) Dimostrare che f è una isometria
b) Determinare gli eventuali punti fissi di f
c) Determinare l’immagine del triangolo di vertici (0,0),(1,0),(0,2) e stabilire se f inverte o preserva l’orientazione
d) Determinare il tipo di isometria di f sfruttando i punti precedenti e calcolare se esiste un intero n positivo tale che f^n, la composizione di f con se stessa n volte, è la trasformazione identica.
Sono riuscita a risolvere i primi due punti, trovando l'isometria e i punti fissi, non riesco invece a risolvere i punti c e d.
Qualcuno sarebbe disponibile per darmi una mano? Grazie mille!
Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la trasformazione f che a ogni punto P di coordinate (x,y) associa il punto f(P) di coordinate f(x,y) = (y, −x).
a) Dimostrare che f è una isometria
b) Determinare gli eventuali punti fissi di f
c) Determinare l’immagine del triangolo di vertici (0,0),(1,0),(0,2) e stabilire se f inverte o preserva l’orientazione
d) Determinare il tipo di isometria di f sfruttando i punti precedenti e calcolare se esiste un intero n positivo tale che f^n, la composizione di f con se stessa n volte, è la trasformazione identica.
Sono riuscita a risolvere i primi due punti, trovando l'isometria e i punti fissi, non riesco invece a risolvere i punti c e d.
Qualcuno sarebbe disponibile per darmi una mano? Grazie mille!
Risposte
Aiutati con carta e penna! Queste trasformazioni del piano sono semplici, e le visualizzi facilmente su un foglio.
Detto ciò, l'orientazione la studi studiando il segno del determinante: positivo conserva l'orientazione, negativo la cambia. Altrimenti disegni sul foglio il triangolo iniziale di vertici $ p_1=(0,0) $, $p_2 =(1,0) $, $p_3=(0,2) $ e il triangolo finale di vertici $ f(p_1) $, $ f(p_2) $, $ f(p_3) $. Tracci una spezzata che percorre i punti $ p_1, p_2, p_3$ e una che percorre i punti $f(p_1), f(p_2), f(p_3)$. Se il verso di percorrenza è lo stesso, allora \(\displaystyle f \) conserva l'orientazione.
A questo punto dovresti aver capito che tipo di isometria è \(\displaystyle f \)... Chi è \(\displaystyle f^4 \)?
Detto ciò, l'orientazione la studi studiando il segno del determinante: positivo conserva l'orientazione, negativo la cambia. Altrimenti disegni sul foglio il triangolo iniziale di vertici $ p_1=(0,0) $, $p_2 =(1,0) $, $p_3=(0,2) $ e il triangolo finale di vertici $ f(p_1) $, $ f(p_2) $, $ f(p_3) $. Tracci una spezzata che percorre i punti $ p_1, p_2, p_3$ e una che percorre i punti $f(p_1), f(p_2), f(p_3)$. Se il verso di percorrenza è lo stesso, allora \(\displaystyle f \) conserva l'orientazione.
A questo punto dovresti aver capito che tipo di isometria è \(\displaystyle f \)... Chi è \(\displaystyle f^4 \)?
Grazie mille per l'aiuto. Ora mi è chiaro. Ho un dubbio però, se io non avessi avuto i punti e la figura, ma solo il punto P(x,y) e f(P)= (y,-x), come avrei potuto capire la conservazione o meno dell'orientazione?
Beh questo discorso lo puoi fare con un qualunque triangolo. Anche se il problema non ti fornisce tre punti, puoi scegliere te di fare questa prova con i punti $ (0,0), (1,0), (0,1) $ . Altrimenti, più formalmente, ti calcoli il determinante. In tal caso la matrice associata a \(\displaystyle f \) è
\(\displaystyle A =\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right ) \)
la quale ha determinante
$ \det (A) = 1 $
\(\displaystyle A =\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right ) \)
la quale ha determinante
$ \det (A) = 1 $
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