Trasformazioni affini del piano
Mi sono imbattuta in questo esercizio:
"Dati i punti $O=(0,0)$ $A=(1,0)$ $B=(0,1)$ e $O'=(1,1)$ $A'=(2,4)$ $B'=(4,0)$
determinare la trasformazione affine del piano che trasforma $O$ in $O'$, $A$ in $A'$, $B$ in $B'$".
Ho provato a rappresentarmi i punti sul piano cartesiano, e a comporre traslazioni e rotazioni.. ma non sono riuscita a trovare una trasformazione che soddisfi la richiesta..
"Dati i punti $O=(0,0)$ $A=(1,0)$ $B=(0,1)$ e $O'=(1,1)$ $A'=(2,4)$ $B'=(4,0)$
determinare la trasformazione affine del piano che trasforma $O$ in $O'$, $A$ in $A'$, $B$ in $B'$".
Ho provato a rappresentarmi i punti sul piano cartesiano, e a comporre traslazioni e rotazioni.. ma non sono riuscita a trovare una trasformazione che soddisfi la richiesta..
Risposte
Si tratta di applicare la teoria!
Sono terne di punti indipendenti del piano (ovvero non allineati).
In queste condizioni, sussiste un teorema che afferma l'esistenza (e l'uicità) di un'affinità del piano che traforma tre punti in altri tre punti dati. Ricalca i passi della dimostrazione e la troverai. Il primo step è considerare la base di $mathbbR^2$ formata dai vettori rappresentativi dei tre punti $A,B,C$ e un'altra base costituita dai vettori rappresentativi di $A',B',C'$. Costruisci l'isomorfismo (di spazi vettoriali) che manda una base in un'altra e calcola esplicitamente l'affinità indotta da tale isomorfismo (di spazi vettoriali)... buon lavoro!
Sono terne di punti indipendenti del piano (ovvero non allineati).
In queste condizioni, sussiste un teorema che afferma l'esistenza (e l'uicità) di un'affinità del piano che traforma tre punti in altri tre punti dati. Ricalca i passi della dimostrazione e la troverai. Il primo step è considerare la base di $mathbbR^2$ formata dai vettori rappresentativi dei tre punti $A,B,C$ e un'altra base costituita dai vettori rappresentativi di $A',B',C'$. Costruisci l'isomorfismo (di spazi vettoriali) che manda una base in un'altra e calcola esplicitamente l'affinità indotta da tale isomorfismo (di spazi vettoriali)... buon lavoro!
Passiamo al pratico 
Essendo nota l'immagine di \(O(0,0)\), possiamo considerare la nostra affinità come l'endomorfismo f del piano definito come :
\(f((X-O)^T)=(X'-O')^T\) , dove : \(X=(x,y)^T,X'=(x',y')^T\) e quindi :
(1) \(f((x,y)^T)=(x'-1,y'-1)^T\)
Nel nostro x caso è :
\(\begin{cases}f((A-O)^T)=(A'-O')^T\\f((B-O)^T)=(B'-O')^T\end{cases}\)
Ovvero :
\(\begin{cases}f((1,0)^T)=(1,3)^T\\f((0,1)^T)=(3,-1)^T\end{cases}\)
La matrice associata ad f è proprio \(\begin{pmatrix}1&3\\3&-1\end{pmatrix}\) e quindi la (1) diventa :
\(\begin{pmatrix}x'-1\\y'-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)
Da cui le equazioni dell'affinità :
\(\begin{cases}x'=x+3y+1\\y'=3x-y+1\end{cases}\)
Essendo nota l'immagine di \(O(0,0)\), possiamo considerare la nostra affinità come l'endomorfismo f del piano definito come :
\(f((X-O)^T)=(X'-O')^T\) , dove : \(X=(x,y)^T,X'=(x',y')^T\) e quindi :
(1) \(f((x,y)^T)=(x'-1,y'-1)^T\)
Nel nostro x caso è :
\(\begin{cases}f((A-O)^T)=(A'-O')^T\\f((B-O)^T)=(B'-O')^T\end{cases}\)
Ovvero :
\(\begin{cases}f((1,0)^T)=(1,3)^T\\f((0,1)^T)=(3,-1)^T\end{cases}\)
La matrice associata ad f è proprio \(\begin{pmatrix}1&3\\3&-1\end{pmatrix}\) e quindi la (1) diventa :
\(\begin{pmatrix}x'-1\\y'-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)
Da cui le equazioni dell'affinità :
\(\begin{cases}x'=x+3y+1\\y'=3x-y+1\end{cases}\)
"ciromario":
Passiamo al pratico
Essendo nota l'immagine di \(O(0,0)\), possiamo considerare la nostra affinità come l'endomorfismo f del piano definito come :
\(f((X-O)^T)=(X'-O')^T\) , dove : \(X=(x,y)^T,X'=(x',y')^T\) e quindi :
(1) \(f((x,y)^T)=(x'-1,y'-1)^T\)
Non sono sicura di aver capito il ragionamento: la prima cosa che vedo dati $O=(0,0)$ e $O'=(1,1)$ è che se attuo una traslazione $x'=x+\beta$ allora il mio $O$ va a finire in $O'$ perchè avrei
$O'=O+(1,1)$
Quindi ottengo che $x=x'-\beta$ e beta sarà il vettore $(1,1)$ che è il mio $O'$.
E da qui
$f((x,y)^T) = (x'-1,y'-1)^T$
Ho capito bene?
Più esattamente in uno spazio vettoriale la scrittura P-Q indica in generale il vettore \(\vec{QP}\), le cui componenti sono la differenza delle componenti omologhe di P e Q. In particolare risulta:
\(\vec{OO'}=O'-O=(1,1)-(0,0)=(1-0,1-0)=(1,1)\)
\(\vec{OX}=X-O=(x,y)-(0,0)=(x-0,y-0)=(x,y)\)
\(\vec{O'X'}=X'-O'=(x',y')-(1,1)=(x'-1,y'-1)\)
\(\vec{OO'}=O'-O=(1,1)-(0,0)=(1-0,1-0)=(1,1)\)
\(\vec{OX}=X-O=(x,y)-(0,0)=(x-0,y-0)=(x,y)\)
\(\vec{O'X'}=X'-O'=(x',y')-(1,1)=(x'-1,y'-1)\)
"ciromario":
Più esattamente in uno spazio vettoriale la scrittura P-Q indica in generale il vettore \(\vec{QP}\), le cui componenti sono la differenza delle componenti omologhe di P e Q. In particolare risulta:
\(\vec{OO'}=O'-O=(1,1)-(0,0)=(1-0,1-0)=(1,1)\)
\(\vec{OX}=X-O=(x,y)-(0,0)=(x-0,y-0)=(x,y)\)
\(\vec{O'X'}=X'-O'=(x',y')-(1,1)=(x'-1,y'-1)\)
Mmm ci lavoro su
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