Trasformazione Matrici 2X2

[squalllionheart]

Salve sto studiando l'esponeziale di una matrice e praticamente sugli appunti del professore ho che le matrici $2x2$ si possono ricondurre a tre classi di matrici.
Quelle con autovalori distinti
si possono diagonalizzare.
Quelle con due autovalori uguali si riconducono a $((a,0),(b,a))$
Quelle con autovalori complessi coniugati si riconducono a $((a,-b),(b,a))$.
Una volta che trovo gli autovalori come mi riconduco a questi casi?
Grazie a presto.

[Dorian1]

Sia $alpha$ l'unico autovalore della matrice $A$ (con molteplicità algebrica $2$). Abbiamo 2 possibilità:

(A) $alpha$ ha molteplicità geometrica $2$;
(B) $alpha$ ha molteplicità geometrica $1$;

(B) è poco interessante perchè, presi arbitrariamente due vettori $v_1$,$v_2$ linearmente indipendenti, essi staranno nell'autospazio di $alpha$ e dunque l'endomorfismo avrà matrice rispetto alla base ${v_1,v_2}$:

$B=((alpha0),(0alpha))$

(e quindi anche $A$ coincide con la matrice scalare...)

Immagino che negli appunti del tuo professore non sia citata questa eventualità perchè si suppone la matrice $A$ non scalare...

(B) Ci sono diversi metodi per procedere: di solito si usa il metodo di Jordan...
S=$Ker(A-alphaI)$=$<((x_1),(x_2))>$
T=$Ker(A-alphaI)^2$=$<((x_1),(x_2))((y_1),(y_2))>$

Si prende un vettore $w_1$ in $T$ che non stia in $S$. Preso il vettore $(A-alphaI)(w_1)=w_2$ abbiamo che la coppia ${w_2,w_1}$ ci permette di scrivere la matrice come detto (con $b=1$) (a dir la verità, la forma di Jordan è una matrice triangolare superiore, ma il ragionamento è lo stesso...)

Se abbiamo 2 autovalori distinti, si va a prendere un vettore da ambo gli autospazi, ottenendo una base per l'endomorfismo...

Se non vi sono autovalori reali. c'è poco da dire...