Trasformazione lineare
stabilire se la trasfomrazione lineafe $f(X)=BX$ traforma i vettori $[1, 0, 0]_T , [0 ,1 ,0]_T , [0, 0, 1]_T$ in una base di $R^3$
dove $B= ((4,-2/3, -4 ),(-2/3,0,0),(-4,0,0))$
non ho proprio idea di come farlo,
grazie
dove $B= ((4,-2/3, -4 ),(-2/3,0,0),(-4,0,0))$
non ho proprio idea di come farlo,
grazie
Risposte
Ciao.
Guarda che è un esercizio standard: calcoli le immagini di quei vettori e vedi se formano una base di $RR^3$.
Guarda che è un esercizio standard: calcoli le immagini di quei vettori e vedi se formano una base di $RR^3$.
sarà standard con un programma serio, ma noi le trasformazioni le abbiam fatte su un foglio con tutte definizioni...purtroppo
io so trovare solo la dimensione dell'immagine e al massimo la base del nucelo, ma non ho ancora idea di come fare a calcolare l'immagine di un vettore, ho provato a guardar sul libro, ma è arabo, putropo non abbiamo fatto queste cose
io so trovare solo la dimensione dell'immagine e al massimo la base del nucelo, ma non ho ancora idea di come fare a calcolare l'immagine di un vettore, ho provato a guardar sul libro, ma è arabo, putropo non abbiamo fatto queste cose
L'immagine di un vettore $v$ tramite un'applicazione lineare rappresentata dalla matrice $B$ (il tutto rispetto ad una base fissata, per esempio quella canonica) è semplicemente il prodotto righe per colonne $B * v$. Conosci il prodotto righe per colonne?
quindi è esattamente come una funzione.
avevo sospettato di dover fare il prodotto, ma non volevosbagliare.
quindi devo calcolare i prodotti dei tre vettori e poi vedere se sono ortononali?
grazie,
avevo sospettato di dover fare il prodotto, ma non volevosbagliare.
quindi devo calcolare i prodotti dei tre vettori e poi vedere se sono ortononali?
grazie,
Chiama $v_1,v_2,v_3$ i tre vettori.
Devi calcolare le immagini dei tre vettori (ovvero $B*v_1$, $B*v_2$, $B*v_3$) e poi vedere se formano una base (cioè se generano e sono linearmente indipendenti).
"df":
quindi devo calcolare i prodotti dei tre vettori e poi vedere se sono ortononali?
Devi calcolare le immagini dei tre vettori (ovvero $B*v_1$, $B*v_2$, $B*v_3$) e poi vedere se formano una base (cioè se generano e sono linearmente indipendenti).
mi viene:
$v_1=((4),(-2/3),(-4))$ $v_2=((-2/3),(0),(0))$ $v_2=((-4),(0),(0))$
da cui:
$a*((4),(-2/3),(-4))+b*((-2/3),(0),(0))+c*((-4),(0),(0))=((0),(0),(0))$
$-2/3b+4a-4c=0$
$-2/3a=0$
$-4a=0$
da cui
$a=0$
$c=-1/6b$
quindi se l'ultima condizione è soddisfatta sono linearmente dipendenti e quindi non ortogonali, altrimenti sono una base di $R^3$
è giusto il procedimento?
grazie
$v_1=((4),(-2/3),(-4))$ $v_2=((-2/3),(0),(0))$ $v_2=((-4),(0),(0))$
da cui:
$a*((4),(-2/3),(-4))+b*((-2/3),(0),(0))+c*((-4),(0),(0))=((0),(0),(0))$
$-2/3b+4a-4c=0$
$-2/3a=0$
$-4a=0$
da cui
$a=0$
$c=-1/6b$
quindi se l'ultima condizione è soddisfatta sono linearmente dipendenti e quindi non ortogonali, altrimenti sono una base di $R^3$
è giusto il procedimento?
grazie
"df":
quindi è esattamente come una funzione.
avevo sospettato di dover fare il prodotto, ma non volevosbagliare.
quindi devo calcolare i prodotti dei tre vettori e poi vedere se sono ortononali?
grazie,
direi di vedere se sono linearmente indipendenti, lo potresti vedere pure dalla ortogonalita' pero' non se lo dici cosi mi pare che stia parlando di cercare se il prodotto scalare si annulla.
Che frase che ho fatto
spero di essermi spiegata.
"df":
$a=0$
$c=-1/6b$
quindi se l'ultima condizione è soddisfatta sono linearmente dipendenti e quindi non ortogonali, altrimenti sono una base di $R^3$
?
Non ci sono "se": o le tre immagini formano una base, oppure no. Inoltre non capisco perché continui a parlare di vettori ortogonali e non ortogonali.
Sicuro di saper verificare se dei vettori formano una base?
Le colonne della tua matrice sono le immagini dei tre vettori di base. Devi vedere se queste tre colone sono linearmente indipendenti. Dal tuo procedimento si vede che non lo sono, quindi i tre vettori sono dipendenti...
Ciao.
P.S.: sempre che sia giusto il tuo procedimento...
Ciao.
P.S.: sempre che sia giusto il tuo procedimento...
è questo il problema, io credevo che se sono indipendenti e quindi ortogonali formano una base, ma forse sbalgio.
ho messo il se perchè 'b' è espresso in funzione di 'c'.
(scusa l'ignoranza ma algebra l'abbiam fatta molto male e considera che sono stato tra i più bravi nel corso, immagina come ci hanno insegnato bene, è che pur essendo passato, voglio capire le cose che non so)
i conti sono certo che siano giusti, il procedimento non so (per trovare i vettori ho fatto B*v)
grazie
ho messo il se perchè 'b' è espresso in funzione di 'c'.
(scusa l'ignoranza ma algebra l'abbiam fatta molto male e considera che sono stato tra i più bravi nel corso, immagina come ci hanno insegnato bene, è che pur essendo passato, voglio capire le cose che non so)
i conti sono certo che siano giusti, il procedimento non so (per trovare i vettori ho fatto B*v)
grazie
"df":
i conti sono certo che siano giusti, il procedimento non so (per trovare i vettori ho fatto B*v)
grazie
Il rango è 2 quindi sono dipendenti.
Per trovare i vettori potevi anche non fare $B*v$ visto che se noti i vettori che hai trovato con la tua moltiplicazione sono uguali alle colonne della matrice che hai.
Ciao.
"df":
indipendenti e quindi ortogonali
Attento: "indipendenti" non implica "ortogonali".
Il tuo procedimento dimostra che i tre vettori sono dipendenti: infatti se scegli $b=6$ (ho scelto 6 perché così si semplifica nella formula, potevo anche scegliere $b=pi+e^{pi/2}$ - l'importante è scegliere un b non nullo) ottieni c=-1 e di conseguenza
$0 * ((4),(-2/3),(-4)) + 6*((-2/3),(0),(0)) -((-4),(0),(0)) = ((0),(0),(0))$
Questa è una relazione di dipendenza lineare, quindi i tre vettori sono dipendenti.
"nirvana":
[quote="df"]i conti sono certo che siano giusti, il procedimento non so (per trovare i vettori ho fatto B*v)
grazie
Il rango è 2 quindi sono dipendenti.
Per trovare i vettori potevi anche non fare $B*v$ visto che se noti i vettori che hai trovato con la tua moltiplicazione sono uguali alle colonne della matrice che hai.
Ciao.[/quote]
hai calcolato il rango della matricecomposta dai tre vettori? (credo proprio di si, ma meglio chiedere una banalità piuttosto che rimanere col dubbio)
Attento: "indipendenti" non implica "ortogonali".
Questa è una relazione di dipendenza lineare, quindi i tre vettori sono dipendenti.
è che io ho pensato ad esempio agli assi cartesiani essi sono indipendenti e ortogonali, pensavo che questa intuizione fosse estensibile.
quindi in conclusione NON sono una base di $R^3$
grazie a tutti
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