Trasformazione ellissoide e piano tangente
Salve,
vorrei porvi un quesito di tipo teorico. Consideriamo un ellissoide ed un sistema di riferimento cartesiano XYZ con origine nel centro dell'ellissoide. I semiassi dell'ellissoide a, b, c giacciono rispettivamente lungo gli assi X, Y, Z. Sia P un punto sulla superficie dell'ellissoide e $\pi$ il piano passante per P e tangente all'ellissoide. Effettuiamo una trasformazione geometrica che trasforma ogni vettore $OA$ (dove A è un punto sull'ellissoide) nel vettore $OA'$, dove il punto O è la proiezione del punto A sul piano XY e $OA'$ è il vettore avente stessa direzione e verso di $OA$ e lunghezza doppia.
A livello intuitivo è chiaro che il piano $\pi$, che come ho detto è passante per il punto P sull'ellissoide e tangente all'ellissoide, viene trasformato (dalla medesima trasformazione) nel piano $\pi'$, il quale è ancora tangente all'ellissoide trasformato. Come faccio a giustificare questa proprietà a livello teorico?
vorrei porvi un quesito di tipo teorico. Consideriamo un ellissoide ed un sistema di riferimento cartesiano XYZ con origine nel centro dell'ellissoide. I semiassi dell'ellissoide a, b, c giacciono rispettivamente lungo gli assi X, Y, Z. Sia P un punto sulla superficie dell'ellissoide e $\pi$ il piano passante per P e tangente all'ellissoide. Effettuiamo una trasformazione geometrica che trasforma ogni vettore $OA$ (dove A è un punto sull'ellissoide) nel vettore $OA'$, dove il punto O è la proiezione del punto A sul piano XY e $OA'$ è il vettore avente stessa direzione e verso di $OA$ e lunghezza doppia.
A livello intuitivo è chiaro che il piano $\pi$, che come ho detto è passante per il punto P sull'ellissoide e tangente all'ellissoide, viene trasformato (dalla medesima trasformazione) nel piano $\pi'$, il quale è ancora tangente all'ellissoide trasformato. Come faccio a giustificare questa proprietà a livello teorico?
Risposte
Ciao,
alla fine la trasformazione che applichi è una traslazione.... nella traslazione si conserva il parallelismo.
alla fine la trasformazione che applichi è una traslazione.... nella traslazione si conserva il parallelismo.
Non è una traslazione.
Immagina di avere un foglio di un materiale elastico. Sul foglio è disegnata una circonferenza. Se afferri il foglio da entrambi i lati e lo tendi, la circonferenza diventa un ellisse. La trasformazione di cui parlavo è di questo tipo. E in ogni caso, anche se fosse stata una traslazione, la tua risposta "nella traslazione si conserva il parallelismo" non avrebbe avuto senso, in quanto la conservazione del parallelismo avviene tra coppie di oggetti, e dire che un ellissoide e un piano sono paralleli non ha alcun senso.
Immagina di avere un foglio di un materiale elastico. Sul foglio è disegnata una circonferenza. Se afferri il foglio da entrambi i lati e lo tendi, la circonferenza diventa un ellisse. La trasformazione di cui parlavo è di questo tipo. E in ogni caso, anche se fosse stata una traslazione, la tua risposta "nella traslazione si conserva il parallelismo" non avrebbe avuto senso, in quanto la conservazione del parallelismo avviene tra coppie di oggetti, e dire che un ellissoide e un piano sono paralleli non ha alcun senso.
No, avevo inteso che avevi un'ellisse e la tangente in un suo punto, traslandola il coefficiente angolare della sua tangente in quel punto non cambia... non avevo inteso il tipo di trasformazione... ci devo pensare..
A livello intuitivo mi viene da pensare che sia necessario utilizzare l'analisi matematica, infatti facendo un esempio nel caso dello spazio bidimensionale anziché tridimensionale, data una curva descritta da una funzione e una sua tangente, la proprietà di tangenza si conserva anche quando le funzioni che le descrivono vengono moltiplicate per una costante non nulla (che è un tipo di trasformazione analogo a quella da me proposta). Il problema è che non so come esprimerlo in termini rigorosi. Poi probabilmente ci sono strumenti più potenti in geometria analitica o in topologia.
Si, è una delle proprietà del calcolo differenziale...
"La derivata del prodotto di una funzione per una costante è pari alla costante moltiplicata per la derivata della f".
Lo si può dimostrare con il rapporto incrementale o con la regola del prodotto... la derivata è un operatore lineare.
"La derivata del prodotto di una funzione per una costante è pari alla costante moltiplicata per la derivata della f".
Lo si può dimostrare con il rapporto incrementale o con la regola del prodotto... la derivata è un operatore lineare.
Giusto, quindi ipotizziamo di avere una superficie nello spazio tridimensionale descritta da un'equazione cartesiana $f(x,y)$, e un punto $P(x_0,y_0)$ su tale superficie. Possiamo dire che, ipotizzando che esistano le derivate parziali $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$, il piano tangente in un intorno del punto è individuato dal gradiente $\nabla f(x_0,y_0)$, e quindi il piano tangente continua ad esistere se la funzione viene moltiplicata per una costante. Non è una spiegazione rigorosissima, ma è ad un livello di raffinamento che ai miei scopi è più che sufficiente.
Grazie, il mio quesito ha trovato risposta.
Grazie, il mio quesito ha trovato risposta.
[pgn][/pgn]Beh, volendo essere pignoli non è detto che se esistono le derivate parziali il piano tangente sia individuato dal gradiente... infatti il piano potrebbe non esistere!! 
Mi faresti un esempio?
Ciao,
il concetto di derivabilità e differenziabilità non sono equivalenti.. la derivabilità è più debole rispetto la differenziabilità, infatti una superficie derivabile in un punto, non è detto che sia differenziabile in quello stesso punto..
Per poter esser certi che sia anche differenziabile (e quindi approssimabile con piano tg) o controlli la differenziabilità o controlli che le derivate parziali siano continue nel punto, ma quest'ultima è un qualcosa in più della differenziabilità..
Qui ti riporto un link di un topic di qualche anno fa..
viewtopic.php?f=36&t=43427&hilit=+differenziabilit%C3%A0
il concetto di derivabilità e differenziabilità non sono equivalenti.. la derivabilità è più debole rispetto la differenziabilità, infatti una superficie derivabile in un punto, non è detto che sia differenziabile in quello stesso punto..
Per poter esser certi che sia anche differenziabile (e quindi approssimabile con piano tg) o controlli la differenziabilità o controlli che le derivate parziali siano continue nel punto, ma quest'ultima è un qualcosa in più della differenziabilità..
Qui ti riporto un link di un topic di qualche anno fa..
viewtopic.php?f=36&t=43427&hilit=+differenziabilit%C3%A0
Grazie, molto gentile.
Di nulla, se hai bisogno siam qua!! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo